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Em matemática, em particular na análise funcional, a convergência uniforme é um conceito mais forte que a convergência pontual, para definir se o limite de uma sequência de funções existe.

DefiniçãoEditar

Como comparação, uma sequência de funções   converge pontualmente para uma função   se, e somente se:

 

A sequência converge uniformemente quando:

 

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada   e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada   um N que se aplica a todo x.

É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convergência na norma do supremo.

Convergência uniforme e integraisEditar

Seja   funções integráveis convergindo uniformemente para  , então   é integrável e:

 

este resultado é válido tanto para a integral de Riemann como para a integral de Lebesgue.

Continuidade e diferenciabilidadeEditar

  • A convergência uniforme preserva continuidade, ou seja, o limite uniforme de uma seqüência de funções contínuas é uma função contínua.
  • Pode acontecer de uma seqüência de funções suaves convergir uniformemente mas a seqüência das derivadas não convergir em nenhum ponto, eis um exemplo:
 

cujas derivadas são:

 

Que   converge uniformemente para zero é fácil ver pois  . Podemos provar que não existe um   tal que   é limitado. Para tal, suponha que exista tal  , como  ,   e portanto existe um   com a propriedade:

 , mas então:
 , o que contradiz a convergência.
  • Pode acontecer de   convergir uniformemente e   pontualmente mas o limites das derivadas ser diferente da derivado do limite. Exemplo:
 

Como  ,   convege uniformemente para zero. A derivado do limite é, portanto, zero. Mas o limites das derivadas é:

 
  • Para preservar a diferenciabilidade, precisamos de mais hipóteses sobre a convergência das derivadas, tal como convergência uniforme. Veja espaço de Hölder.

Ver tambémEditar

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