Convergência uniforme

Em matemática, em particular na análise funcional, a convergência uniforme é um conceito mais forte que a convergência pontual, para definir se o limite de uma sequência de funções existe.

DefiniçãoEditar

Como comparação, uma sequência de funções   converge pontualmente para uma função   se, e somente se:

 .

A sequência converge uniformemente quando:

 

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada   e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada   um N que se aplica a todo x.

É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convergência na norma do supremo. Mais precisamente, consideremos o conjunto das funções   que são limitadas, que designaremos por  . Munido das operações de soma de funções e de produto de um escalar real por uma função, este conjunto torna-se num espaço vetorial real (que é, aliás, subespaço do espaço vetorial das funções reais  ). Através da relação   definimos uma aplicação   de   em   que constitui uma norma em   e que é chamada norma do supremo. É conhecido que para esta norma,   é um espaço de Banach[1][2] (p.170).

De notar que se   é uma sucessão de funções em   que converge uniformemente para  , então também  . Basta ter em conta que para cada   e cada  ,  . Fixando   arbitrariamente, resulta então, para qualquer   que  . Logo   é limitada em  .

ContinuidadeEditar

Tomemos agora  , não como um simples conjunto mas como um espaço topológico qualquer.

  • Seja   uma sucessão de funções contínuas em   que converge uniformemente para   em   Então   é contínua em  [2] (p 132).
  • A convergência uniforme preserva a continuidade, ou seja, o limite uniforme de uma seqüência de funções contínuas é uma função contínua.

Se   for um espaço métrico compacto, como por exemplo um intervalo limitado e fechado  , uma relação mais específica entre continuidade e convergência uniforme foi estabelecida por Ulisse Dini no teorema seguinte o qual é apresentado com maior detalhe por E. L. Lima em[2] (p.211).

Teorema (de Dini)Editar

Se   uma sucessão de funções contínuas em   que em cada ponto de   cresce (ou decresce) para   e   é também contínua em  , então   converge unformemente para   em  .

Para o caso de ser  , uma demonstração diferente é apresentada D. G. Figueiredo[3].

DiferenciabilidadeEditar

Seja   um intervalo da reta real.

  • Pode acontecer de uma seqüência de funções suaves convergir uniformemente mas a seqüência das derivadas não convergir em nenhum ponto, eis um exemplo:
 

cujas derivadas são:

 

Que   converge uniformemente para zero é fácil ver pois  . Podemos provar que não existe um   tal que   é limitado. Para tal, suponha que exista tal  , como  ,   e portanto existe um   com a propriedade:

 , mas então:
 , o que contradiz a convergência.
  • Pode acontecer de   convergir uniformemente e   pontualmente mas o limites das derivadas ser diferente da derivado do limite. Exemplo:
 

Como  ,   converge uniformemente para zero. A derivado do limite é, portanto, zero. Mas o limites das derivadas é:

 
  • Para preservar a diferenciabilidade, precisamos de mais hipóteses sobre a convergência das derivadas, tal como convergência uniforme. Veja espaço de Hölder.

Convergência uniforme e integraisEditar

Coloquemo-nos agora perante a norma do supremo em  e atentemos previamente nos três exemplos seguintes.

Exemplo 1Editar

Designemos por  , a sucessões dos racionais no intervalo   e consideremos a sucessão de funções neste intervalo definida através de:

 

Trata-se de uma sucessão de funções limitadas, cada uma apenas com um número finito de descontinuidades, logo integráveis à Riemann. Para cada  , a correspondente função limite   é a função de Dirichlet

 

a qual como é conhecido não é integrável à Riemann.

Por outro lado,  , qualquer que seja  . Logo a convergência não é uniforme, mas apenas pontual.

Exemplo 2Editar

Seja

 

Trata-se de uma sucessão de funções limitadas em   ( , para cada  ) com apenas uma descontinuidade em  , consequentemente integráveis. Contudo, a função limite é dada por

 

a qual nem sequer é limitada, não podendo portanto haver convergência uniforme.

Exemplo 3Editar

Mas para  , com   em  , temos uma sucessão de funções contínuas, em que a função limite é a função identicamente nula, obviamente integrável, sendo

 

Observe-se que neste caso a convergência é uniforme pois

 .

Isto é, apenas neste último exemplo, a função limite é integrável e tem-se a validade da seguinte fórmula

 

Precisamente, o que sucede neste exemplo e não sucede nos outros, é que há convergência uniforme da sucessão de funções   para a função limite  . Na verdade, é válido o teorema seguinte.

Teorema 1 (da Convergência Uniforme)Editar

Seja   uma sucessão de funções integráveis em  , convergindo uniformemente para  . Isto é,   é uma sucessão em   tal que  . Então   é integrável em   e:

 .

Este resultado é válido tanto para a integral de Riemann como para a integral de Lebesgue.

No caso do integral de Lebesgue a simples convergência pontual é suficiente para garantir a integrabilidade à Lebesgue.

Para o integral de Rieman temos de mostrar que o conjunto  , das descontinuidades de  , tem medida de Lebesgue nula. Observemos que se   for o conjunto das descontinuidades de  , como a convergência uniforme conserva a continuidade, temos que  . Logo  . Tendo o conjunto da direita, por via da integrabilidade à Riemann de cada função  , medida de Lebesgue nula, o mesmo sucede a  . Logo   é integrável à Riemann.

Por outro lado, a diferença

 

pelo que

 

Este argumento é válido para os dois integrais.

Ver tambémEditar

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  1. Honig, Chaim Samuel (1976). Aplicações da Topologia à Análise. Brasília: IMPA-CNPq. p. 33. 
  2. a b c Lima, Elon Lages (1977). Espaços Métricos. Brasília: IMPA-CNPq. ISBN 9-216-05110-8 
  3. Figueiredo, Djairo Guedes de (1996). Análise I. Rio de Janeiro: LTC. p. 199