Coordenadas elípticas

As coordenadas elípticas são um sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonais, onde as linhas coordenadas são elipses e hipérboles com os mesmos focos. Os focos $F_{1}$ e $F_{2}$ estão geralmente fixos nas posições $x=-a$ e $x=+a$, respectivamente, sobre o eixo $OX$ de um sistema cartesiano cujos eixos são eixos de simetría das linhas coordenadas hiperbólicas e elípticas.

Sistema de coordenadas elípticas.

As coordenadas elípticas cilíndricas são um sistema tridimensional obtido rotacionando o sistema anterior em torno do eixo dos focos e adicionando uma coordenada angular polar adicional.

Definição

A definição mais comum das coordenadas elípticas bidimensionais $(\mu ,\nu )$ é:

${\displaystyle }$ (left)

Onde:

$\mu \,$ é um número real não-negativo e

$\nu \in [0,2\pi )\,$.

No plano complexo, existe uma relação equivalente dada por:

$x+\mathrm {i} y=a\cosh(\mu +i\nu )$

Estas definições correspondem à elipses e hipérboles. A identidade trigonométrica

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}\cosh ^{2}\mu +{\frac {y^{2}}{a^{2}}}\sinh ^{2}\mu =\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$

mostra que as curvas com $\mu \,$ constante são elipses, enquanto que a identidade trigonométrica hiperbólica

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}\cos ^{2}\nu -{\frac {y^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\nu =\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$

mostra que as curvas com $\nu \,$ constante são hipérboles.

Aplicações

As aplicacões clássicas das coordenadas elípticas são a resolução de equações diferenciais parciais como a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as que as coordenadas elípticas admitam separação de variáveis. Um exemplo típico é a carga elétrica que rodeia um condutor plano de largura 2a. Ou o campo de duas cargas elétricas pontuais de mesmo sinal a uma distância 2a.