Coordenadas parabólicas

As coordenadas parabólicas são um sistema bidimensional de coordenadas ortogonais em que as linhas coordenadas são parábolas confocais. A versão tridimensional das coordenadas parabólicas é obtida através da rotação do sistema bidimensional sobre o eixo de simetria de todas as parábolas.

As coordenadas parabólicas possuem muitas aplicações, por exemplo, no tratamento do efeito Stark e da teoria potencial das arestas.

Coordenadas parabólicas bidimensionais

AS coordenadas parabólicas bidimensionais $(\sigma ,\tau )$ são definidas pelas equações

$x=\sigma \tau \,$

$y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$

As curvas com $\sigma$ constante formam parábolas confocais

$2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$

voltadas para cima (ou seja, no sentido $+y$), ao passo que as curvas com $\tau$ constante formam parábolas confocais

$2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$

voltadas para baixo (ou seja, no sentido $-y$). Os focos de todas essas parábolas estão localizados na origem.

Fatores de escala bidimensionais

Os fatores de escala para as coordenadas parabólicas $(\sigma ,\tau )$ são iguais a

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$

Daí, o elemento infinitesimal de área é

$dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau$

E o laplaciano vale

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)$

Outros operadores diferenciais tais como $\nabla \cdot \mathbf {F}$ e $\nabla \times \mathbf {F}$ podem ser expressos nas coordenadas (σ, τ) substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais para coordenadas ortogonais.

Coordenadas parabólicas tridimensionais

Superfícies coordenadas das coordenadas parabólicas tridimensionais. O parabolóide vermelho corresponde a τ=2, o parabolóide azul corresponde a σ=1, e o semiplano amarelo corresponde a φ =- 60 °. As três superfícies se intersectam no ponto P (mostrado como uma esfera preta) de coordenadas cartesianas aproximadamente iguais a (1,0; -1,732; 1,5).

As coordenadas parabólicas bidimensionais formam a base para dois conjuntos de coordenadas ortogonais tridimensionais. As coordenadas cilíndricas parabólicas são produzidas por projeção na direção $z$.

A rotação sobre o eixo de simetria das parábolas produz um conjunto de paraboloides confocais, formando um sistema de coordenadas que também é conhecido como "coordenadas parabólicas"

$x=\sigma \tau \cos \varphi$

$y=\sigma \tau \sin \varphi$

$z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$

onde as parábolas estão alinhadas com o eixo $z$, sobre o qual a rotação foi realizada. Assim, o ângulo azimutal $\phi$ é definido por

$\tan \varphi ={\frac {y}{x}}$

As superfícies cujo $\sigma$ é constante formam paraboloides confocais

$2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$

Com concavidade para cima (ou seja, no sentido $+z$), enquanto que as superfícies com $\tau$ constante formam paraboloides confocais

$2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$

de concavidade para baixo (ou seja, na direção $-z$). Os focos de todos estes paraboloides estão localizados na origem.

O tensor métrico de Riemann associado a este sistema de coordenadas é

$g_{ij}={\begin{bmatrix}\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0&0\\0&\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0\\0&0&\sigma ^{2}\tau ^{2}\end{bmatrix}}$

Fatores de escala tridimensionais

Os três fatores de escala tridimensionais são:

$h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$

$h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$

$h_{\varphi }=\sigma \tau \,$

Nota-se que os fatores de escala $h_{\sigma }$ e $h_{\tau }$ são os mesmos do caso bidimensional. O elemento infinitesimal de volume é então

$dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }=\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi$

E o laplaciano é dado por

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}$

Outros operadores diferenciais tais como $\nabla \cdot \mathbf {F}$ e $\nabla \times \mathbf {F}$ podem ser expresso nas coordenadas $(\sigma ,\tau ,\phi )$ substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais encontradas em coordenadas ortogonais.

Uma formulação alternativa

A conversão de coordenadas cartesianas para as parabólicas é efetuada através da seguinte transformação:

$\xi ={\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+z}},$

$\eta ={\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}-z}},$

$\phi =\arctan {y \over x}.$

O jacobiano da transformação de coordenadas dado em termos infinitesimais como sendo

${\begin{bmatrix}d\eta \\d\xi \\d\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&-1+{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&1+{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}dx\\dy\\dz\end{bmatrix}}$

sob as condições $\eta \geq 0,$ e $\xi \geq 0.$

Se φ = 0, então uma seção transversal é obtida; as coordenadas se limitam ao plano xz:

$\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}},$

$\xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}.$

Se η=c (uma constante), então

$\left.z\right|_{\eta =c}={x^{2} \over 2c}-{c \over 2}.$

Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria da parábola é vertical e sua concavidade é voltada para cima.

Se ξ=c então

$\left.z\right|_{\xi =c}={c \over 2}-{x^{2} \over 2c}.$

Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria é vertical e sua concavidade é voltada para baixo.

Agora considere qualquer parábola η=c para cima e qualquer parábola ξ= b para baixo. É desejável encontrar sua interseção:

${x^{2} \over 2c}-{c \over 2}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b},$

rearrumando,

${x^{2} \over 2c}+{x^{2} \over 2b}={b \over 2}+{c \over 2},$

evidenciando x²,

$x^{2}\left({b+c \over 2bc}\right)={b+c \over 2},$

cancelando os fatores comuns de ambos os lados,

$x^{2}=bc,\,$

tomando a raiz quadrada,

$x={\sqrt {bc}}.$

x é a média geométrica de b e c. A abscissa da intersecção foi encontrada. Vamos encontrar a ordenada. Substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para cima:

$z_{c}={bc \over 2c}-{c \over 2}={b-c \over 2},$

em seguida, substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para baixo:

$z_{b}={b \over 2}-{bc \over 2b}={b-c \over 2}.$

z_c = z_b, com deveria ser. Logo, o ponto de intersecção é

$P:\left({\sqrt {bc}},{b-c \over 2}\right).$

Desenhe um par de tangentes através do ponto P, cada uma tangente a cada parábola. A reta tangente através do ponto P à parábola superior tem inclinação:

${dz_{c} \over dx}={x \over c}={{\sqrt {bc}} \over c}={\sqrt {b \over c}}=s_{c}.$

A reta tangente através do ponto P à parábola inferior tem inclinação:

${dz_{b} \over dx}=-{x \over b}={-{\sqrt {bc}} \over b}=-{\sqrt {c \over b}}=s_{b}.$

O produto das duas inclinações é

$s_{c}s_{b}=-{\sqrt {b \over c}}{\sqrt {c \over b}}=-1.$

O produto das inclinações é “uma inclinação negativa”, pois as retas são perpendiculares. Isto é verdade para qualquer par de parábolas com concavidades em direções opostas.

Assim, um par de parábolas intercepta-se em dois pontos, mas quando φ é zero, ele realmente limita as outras coordenadas ξ e η a se moverem no semiplano com x>0, pois x<0 corresponde a φ = π.

Desta forma, um par de coordenadas ξ e η especificam um único ponto no semiplano. Então, fazendo φ entre 0 e 2π, o semiplano gira com o ponto (em torno do eixo z, que é a dobradiça): as parábolas formam paraboloides. Um par de paraboloides opostos formam um círculo, e um valor de φ especifica um semiplano que corta o círculo de intersecção em um único ponto. As coordenadas cartesianas dos pontos são [Menzel, p. 139]:

$x={\sqrt {\xi \eta }}\cos \phi ,$

$y={\sqrt {\xi \eta }}\sin \phi ,$

$z={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(\xi -\eta ).$

${\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\xi }{\eta }}}\cos \phi &{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\eta }{\xi }}}\cos \phi &-{\sqrt {\xi \eta }}\sin \phi \\{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\xi }{\eta }}}\sin \phi &{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\eta }{\xi }}}\sin \phi &{\sqrt {\xi \eta }}\cos \phi \\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\phi \end{vmatrix}}$

Ver também

• Coordenadas ortogonais
• Sistemas de coordenadas ortogonais bidimensionais:

• • Sistema de coordenadas cartesianas
  • Sistema de coordenadas polares
  • Sistema de coordenadas parabólicas

• Coordenadas bipolares
• Coordenadas hiperbólicas
• Coordenadas elípticas

• Sistemas de coordenadas ortogonais tridimensionais:

• • Sistema de coordenadas cartesianas
  • Sistema de coordenadas cilíndricas
  • Sistema de coordenadas esféricas
  • Sistema de coordenadas parabólicas
  • Coordenadas cilíndricas parabólicas
  • Coordenadas paraboloidais
  • Coordenadas esferoidais oblatas
  • Coordenadas esferoidais prolatas
  • Coordenadas elipsoidais
  • Coordenadas cilíndricas elípticas
  • Coordenadas toroidais
  • Coordenadas biesféricas
  • Coordenadas cilíndricas bipolares
  • Coordenadas cônicas
  • Coordenadas cíclides anel-plano
  • Coordenadas cíclides disco plano
  • Coordenadas bicíclides
  • Coordenadas cap-cíclides

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Parabolic coordinates», especificamente desta versão.

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 660 páginas. ISBN [[Special:BookSources/0-07-043316-X, |0-07-043316-X, <span class="noprint">[[Library of Congress Control Number|LCCN]]&nbsp;[http://lccn.loc.gov/52011515 52-11515]</span>]] 

• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 185–186.  

• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 180 páginas. , ASIN B0000CKZX7 

• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 96 páginas.  

• Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 114 páginas. ISBN 0-86720-293-9  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.

• Moon P, Spencer DE (1988). «Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd, 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. pp. 34–36 (Table 1.08). ISBN 978-0387184302 

Ligações externas

• Descrição em MathWorld das coordenadas parabólicas – inglês