Coordenadas parabólicas

Parabolic coords.svg

As coordenadas parabólicas são um sistema bidimensional de coordenadas ortogonais em que as linhas coordenadas são parábolas confocais. A versão tridimensional das coordenadas parabólicas é obtida através da rotação do sistema bidimensional sobre o eixo de simetria de todas as parábolas.

As coordenadas parabólicas possuem muitas aplicações, por exemplo, no tratamento do efeito Stark e da teoria potencial das arestas.

Coordenadas parabólicas bidimensionaisEditar

AS coordenadas parabólicas bidimensionais   são definidas pelas equações

 
 

As curvas com   constante formam parábolas confocais

 

voltadas para cima (ou seja, no sentido  ), ao passo que as curvas com   constante formam parábolas confocais

 

voltadas para baixo (ou seja, no sentido  ). Os focos de todas essas parábolas estão localizados na origem.

Fatores de escala bidimensionaisEditar

Os fatores de escala para as coordenadas parabólicas   são iguais a

 

Daí, o elemento infinitesimal de área é

 

E o laplaciano vale

 

Outros operadores diferenciais tais como   e   podem ser expressos nas coordenadas (σ, τ) substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais para coordenadas ortogonais.

Coordenadas parabólicas tridimensionaisEditar

 
Superfícies coordenadas das coordenadas parabólicas tridimensionais. O parabolóide vermelho corresponde a τ=2, o parabolóide azul corresponde a σ=1, e o semiplano amarelo corresponde a φ =- 60 °. As três superfícies se intersectam no ponto P (mostrado como uma esfera preta) de coordenadas cartesianas aproximadamente iguais a (1,0; -1,732; 1,5).

As coordenadas parabólicas bidimensionais formam a base para dois conjuntos de coordenadas ortogonais tridimensionais. As coordenadas cilíndricas parabólicas são produzidas por projeção na direção  .

A rotação sobre o eixo de simetria das parábolas produz um conjunto de paraboloides confocais, formando um sistema de coordenadas que também é conhecido como "coordenadas parabólicas"

 
 
 

onde as parábolas estão alinhadas com o eixo  , sobre o qual a rotação foi realizada. Assim, o ângulo azimutal   é definido por


 

As superfícies cujo   é constante formam paraboloides confocais

 

Com concavidade para cima (ou seja, no sentido  ), enquanto que as superfícies com   constante formam paraboloides confocais

 

de concavidade para baixo (ou seja, na direção  ). Os focos de todos estes paraboloides estão localizados na origem.

O tensor métrico de Riemann associado a este sistema de coordenadas é

 

Fatores de escala tridimensionaisEditar

Os três fatores de escala tridimensionais são:

 
 
 

Nota-se que os fatores de escala   e   são os mesmos do caso bidimensional. O elemento infinitesimal de volume é então

 

E o laplaciano é dado por

 

Outros operadores diferenciais tais como   e   podem ser expresso nas coordenadas   substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais encontradas em coordenadas ortogonais.

Uma formulação alternativaEditar

A conversão de coordenadas cartesianas para as parabólicas é efetuada através da seguinte transformação:

 
 
 

O jacobiano da transformação de coordenadas dado em termos infinitesimais como sendo

 

sob as condições   e  

Se φ = 0, então uma seção transversal é obtida; as coordenadas se limitam ao plano xz:

 
 

Se η=c (uma constante), então

 

Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria da parábola é vertical e sua concavidade é voltada para cima.

Se ξ=c então

 

Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria é vertical e sua concavidade é voltada para baixo.

Agora considere qualquer parábola η=c para cima e qualquer parábola ξ= b para baixo. É desejável encontrar sua interseção:

 

rearrumando,

 

evidenciando ,

 

cancelando os fatores comuns de ambos os lados,

 

tomando a raiz quadrada,

 


x é a média geométrica de b e c. A abscissa da intersecção foi encontrada. Vamos encontrar a ordenada. Substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para cima:

 

em seguida, substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para baixo:

 

zc = zb, com deveria ser. Logo, o ponto de intersecção é

 

Desenhe um par de tangentes através do ponto P, cada uma tangente a cada parábola. A reta tangente através do ponto P à parábola superior tem inclinação:

 

A reta tangente através do ponto P à parábola inferior tem inclinação:

 

O produto das duas inclinações é

 

O produto das inclinações é “uma inclinação negativa”, pois as retas são perpendiculares. Isto é verdade para qualquer par de parábolas com concavidades em direções opostas.

Assim, um par de parábolas intercepta-se em dois pontos, mas quando φ é zero, ele realmente limita as outras coordenadas ξ e η a se moverem no semiplano com x>0, pois x<0 corresponde a φ = π.

Desta forma, um par de coordenadas ξ e η especificam um único ponto no semiplano. Então, fazendo φ entre 0 e 2π, o semiplano gira com o ponto (em torno do eixo z, que é a dobradiça): as parábolas formam paraboloides. Um par de paraboloides opostos formam um círculo, e um valor de φ especifica um semiplano que corta o círculo de intersecção em um único ponto. As coordenadas cartesianas dos pontos são [Menzel, p. 139]:

 
 
 
 

Ver tambémEditar

  • Sistemas de coordenadas ortogonais tridimensionais:

ReferênciasEditar

  • Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 660 páginas. ISBN [[Special:BookSources/0-07-043316-X, LCCN 52-11515|0-07-043316-X, <span class="noprint">[[Library of Congress Control Number|LCCN]]&nbsp;[http://lccn.loc.gov/52011515 52-11515]</span>]] Verifique |isbn= (ajuda) 
  • Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 185–186. LCCN 55-10911 
  • Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 180 páginas. LCCN 59-14456, ASIN B0000CKZX7 
  • Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 96 páginas. LCCN 67-25285 
  • Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 114 páginas. ISBN 0-86720-293-9  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
  • Moon P, Spencer DE (1988). «Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd, 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. pp. 34–36 (Table 1.08). ISBN 978-0387184302 

Ligações externasEditar