Corpo de números algébricos

Em matemática, um corpo de numéros algébricos (ou, simplesmente, corpo de números) F é uma extensão de corpos de grau finito (e, portanto, algébrica) do corpo Q dos números racionais. Assim, F é um corpo contendo Q que tem dimensão finita como espaço vetorial sobre Q.

O estudo de corpos de números algébricos e, mais geralmente, de extensões finitas de corpos de números, é o tema central da teoria algébrica dos números.

Definição

Pré-requisitos

Ver artigos principais: Corpo (matemática) e Espaço Vetorial

Um corpo de números algébricos é, em particular, um corpo. Um corpo consiste de um conjunto de elementos juntamente com duas operações, adição e multiplicação, satisfazendo certos axiomas como distributividade. O exemplo prototípico de corpo é o corpo dos números racionais, geralmente denotado Q, com as suas operações usuais de soma e produto.

Outro conceito necessário para definir corpos de números algébricos é o de espaço vetorial. Para o que é necessário neste contexto, um espaço vetorial pode ser pensado como um conjunto de sequências (ou n-uplas)

(x₁, x₂, ...)

cujas entradas são elementos de um corpo fixado, tal como o corpo Q. Duas de tais sequências podem ser somadas por meio da adição termo a termo de suas entradas. Além disso, qualquer sequência pode ser multiplicada por um único elemento c do corpo fixado. Estas duas operações, conhecidas adição vetorial e multiplicação por escalar satisfazem um número de propriedades que servem para definir espaços vetoriais abstratamente. É permitido que espaços vetoriais tenham "dimensão infinita", isto é, que as sequências que formam os espaços vetoriais tenham comprimento infinito. Se, no entanto, o espaço vetorial consiste de sequências finitas

(x₁, x₂, ..., x_n),

diz-se que o espaço vetorial é de dimensão finita, n.

Definição

Um corpo de números algébricos (ou, simplesmente, corpo de números) é uma extensão de corpo de grau finito do corpo dos números racionais. Aqui, o grau da extensão é definido como a sua dimensão como espaço vetorial sobre Q.

Exemplos

• O exemplo trivial de corpo de números é o corpo Q dos números racionais, que possui grau 1. As propriedades de corpos de números em geral são modeladas com base nas propriedades de Q.

• Os racionais Gaussianos, denotados por Q(i) (lida como "Q adjunto i"), formam um dos primeiros exemplos não-triviais de um corpo de números. Seus elementos são expressões da forma

a+bi.

onde a e b são racionais e i é a unidade imaginária. Tais expressões podem ser adicionadas, subtraídas, e multiplicadas de acordo com as regras usuais da aritmética e, em seguida, simplificadas usando a identidade

i² = -1.

Explicitamente,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

(a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Os racionais Gaussianos não nulos são invertíveis, o que pode ser visto a partir da identidade

$(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.$

Sendo assim, os racionais Gaussianos formam um corpo de números de grau 2 sobre Q.

• Mais geralmente, para qualquer número inteiro d livre de quadrados, o corpo quadrático

Q(√d)

é um corpo de números obtido adjuntando uma raiz quadrada de d ao corpo dos números racionais. Operações aritméticas neste corpo são definidas em analogia com o caso dos racionais Gaussianos, que consiste do caso particular d = − 1.

• O corpo ciclotômico

Q(ζ_n), ζ_n = exp (2πi / n)

é um corpo de números obtido a partir de Q pelo acréscimo de uma raiz n-ésima primitiva da unidade ζ_n. Este corpo contém todas as raízes n-ésimas da unidade, e a sua dimensão sobre Q é φ(n), onde φ é a função totiente de Euler.

• Os números reais, R, e os números complexos, C, são corpos que têm dimensão infinita sobre Q, e portanto estes não são corpos de números. Isso decorre, por exemplo, da inumerabilidade de R e C como conjuntos, enquanto que todo corpo de números é necessariamente enumerável.

• O conjunto Q² de pares ordenados de números racionais, com adição e multiplicação coordenada a coordenada, é uma álgebra comutativa de dimensão 2 sobre Q. No entanto, este não constitui um corpo, pois possui divisores de zero:

(1, 0) · (0, 1) = (1 · 0, 0 · 1) = (0, 0).

Algebricidade e anel de inteiros

Geralmente, em álgebra abstrata, uma extensão de corpo F / E é algébrica se cada elemento α do corpo maior F é o zero de algum polinômio com coeficientes em E. Isto é, se para todo α em F existe m inteiro e a₀, ..., a_m em E tal que:

p(α) = a_mα^m + a_m-1α^m-1 + ... + a₁α + a₀ = 0.

É um fato que toda extensão de corpos de grau finito é algébrica (demonstração: para x em F basta considerar 1, x, x², x³, ..., e tem-se um conjunto de vetores linearmente dependentes, isto é, e portanto um polinômio do qual x é uma raiz). Em particular, isto se aplica a corpos de números algébricos, de modo que qualquer elemento f de um corpo de números F pode ser considerado como um zero de um polinômio com coeficientes racionais. Portanto, os elementos de F também são chamados de números algébricos. Dado um polinômio p tal que p(α) = 0, pode-se fazer com que o coeficiente a_m do termo de maior grau seja igual a um, dividindo, se necessário, todos os coeficientes por este número. Um polinômio com essa propriedade é chamado de polinômio mônico. Em geral, ele terá coeficientes racionais. Se, no entanto, todos os seus coeficientes forem, na verdade, números inteiros, α é chamado de inteiro algébrico. Qualquer inteiro (usual) n ∈ Z é um inteiro algébrico, pois ele é o zero do seguinte polinômio linear mônico:

p(T) = T − n.

Pode ser demonstrado que qualquer inteiro algébrico que também é um número racional deve ser, na verdade, um número inteiro, daí o nome "inteiro algébrico". Novamente usando álgebra abstrata, especificamente a noção de módulo finitamente gerado, pode ser mostrado que a soma e o produto de quaisquer dois inteiros algébricos também é um inteiro algébrico, donde resulta que os inteiros algébricos de F formam um anel denotado O_F, denominado anel de inteiros de F. Este é um subanel de F, e como corpos não possuem divisores de zero, esta propriedade é herdada por qualquer subanel. Portanto, o anel de inteiros de F é um domínio de integridade. O corpo F é o corpo de frações do domínio de integridade O_F. Desta forma, pode-se ir e voltar entre o corpo de números algébricos F e o seu anel de inteiros O_F. Anéis de inteiros algébricos têm três propriedades distintas

• O_F é um domínio de integridade integralmente fechado em seu corpo de frações F.
• O_F é um anel Noetheriano.
• Todo ideal primo não nulo de O_F é maximal; equivalentemente, a dimensão de Krull de O_F é igual a um.

Um anel comutativo abstrato com essas três propriedades é chamado de domínio de Dedekind, em homenagem a Richard Dedekind, que realizou um profundo estudo de anéis de inteiros algébricos.

Fatoração única e número de classes

Em um domínio de Dedekind arbitrário, em particular em anéis de inteiros algébricos, vale a propriedade de fatoração única de ideais em um produto de ideais primos. Por exemplo, o ideal (6) em Z[√-5] fatora-se como o seguinte produto de ideais primos

(6) = (2, 1 + √-5)(2,1 − √-5)(3, 1 + √-5)(3, 1 − √-5).

No entanto, ao contrário de Z como o anel de inteiros de Q, o anel de inteiros de uma extensão própria de Q não precisa admitir fatoração única em elementos primos. Isso já acontece para os inteiros quadráticos, por exemplo, em O_Q(√-5) = Z[√-5], onde a unicidade da fatoração falha:

6 = 2 ⋅ 3 = (1 + √-5) ⋅ (1 − √-5).

Usando a norma pode ser mostrado que essas duas fatorações, na verdade, são não-equivalentes no sentido de que os fatores não diferem apenas por uma unidade de O_Q(√-5). Domínios euclidianos são domínios de fatoração única; por exemplo Z[i], o anel dos inteiros de Gauss, e Z[ω], o anel dos inteiros de Eisenstein, em que ω é uma raiz cúbica da unidade (diferente de 1), têm esta propriedade.

Funções ζ, funções L e fórmula do número de classes

A falha da fatoração única é medida pelo número de classes, comumente denotado por h, que é a cardinalidade do grupo de classes de ideais. Este grupo é sempre finito. O anel de inteiros O_F possui fatoração única se, e somente se, ele é um anel principal ou, equivalentemente, se F tem número de classes 1. Dado um corpo de números, o número de classes muitas vezes é difícil de calcular. O problema do número de classes, levantado por Gauss, diz respeito à existência de corpos de números quadráticos imaginários (isto é, Q(√−d), para d ≥ 1) com um número de classe prescrito. A fórmula do número de classes relaciona h a outros invariantes fundamentais de F. Ela envolve a função zeta de Dedekind ζ_F(s), uma função de uma variável complexa s, definida por

$\zeta _{F}(s):=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}$.

(O produto é sobre todos os ideais primos de O_F, onde $N({\mathfrak {p}})$ denota a norma do ideal primo ou, equivalentemente, o número (finito) de elementos do corpo de resíduos $O_{F}/{\mathfrak {p}}$. O produto infinito só converge para Re(s) > 1, e em geral é necessária a continuação analítica junto com equação funcional da função zeta para definir a função para todo s). A função zeta de Dedekind generaliza a função zeta de Riemann no sentido de que ζ_Q(s) = ζ(s).

A função ζ_F(s) tem um polo simples em s = 1, e neste ponto, a fórmula do número de classes estabelece que o resíduo é dado por

${\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg} }{w\cdot {\sqrt {|D|}}}}.$

Aqui r₁ e r₂ indicam tradicionalmente o número de imersões reais e pares de imersões complexas de F, respectivamente. Além disso, Reg é o regulador de F, w o número de raízes da unidade em F e D é o discriminante de F.

As funções L de Dirichlet L(s, χ) são funções relacionadas a ζ(s). Ambas funções codificam o comportamento aritmético de Q e F, respectivamente. Por exemplo, o teorema de Dirichlet afirma que em qualquer progressão aritmética

a, a + m, a + 2m, ...

com a e m primos entre si, há um número infinito de números primos. Este teorema é uma consequência do fato de que funções L de Dirichlet são não-nulas em s = 1. Utilizando-se de técnicas mais avançadas, incluindo K-teoria algébrica e medidas de Tamagawa, a teoria dos números moderna lida com uma descrição, embora em grande parte hipotética, dos valores de funções L mais gerais.

Bases para corpos numéricos

Base inteira

Uma base inteira para um corpo de números F de grau n é um conjunto

B = {b₁, ..., b_n}

de n inteiros algébricos em F tal que cada elemento do anel de inteiros O_F de F pode ser escrito de forma única como uma combinação Z-linear de elementos de B; isto é, para qualquer x em O_F tem-se

x = m₁b₁ + ... + m_nb_n,

onde os m_i são números inteiros (ordinários). Então também ocorre que qualquer elemento de F pode ser escrito de forma única como

m₁b₁ + ... + m_nb_n,

onde agora os m_i são números racionais. Os inteiros algébricos de F são, então, precisamente os elementos de F para os quais todos os m_i são números inteiros.

Trabalhando localmente e usando ferramentas tais como a mapa de Frobenius, é sempre possível calcular explicitamente uma tal base, e já é normal que sistemas algébricos computacionais tenham programas embutidos para fazer isso.

Base de potências

Seja F um corpo de números de grau n. Entre todas as possíveis bases de F (visto como um Q-espaço vetorial), há aquelas conhecidas como bases de potências, que são bases da forma

B_x = {1, x, x², ..., x^n-1}

para algum elemento x ∈ F. Pelo teorema do elemento primitivo, existe um x nestas condições, o qual é denominado elemento primitivo. Se x pode ser escolhido em O_F e tal modo que B_x é uma base de O_F como um Z-módulo então B_x é chamado de uma base de potências integral, e o corpo F é chamado de corpo monogênico. O primeiro exemplo de um corpo de números que não é monogênico foi dado por Dedekind. O seu exemplo é o do corpo obtido por adjunção de uma raiz do polinômio x³ − x² − 2x − 8.

Representação regular, traço e determinante

Usando a multiplicação de F, os elementos do corpo F podem ser representados por matrizes n-por-n

A = A(x)=(a_ij)_{1 ≤ i, j ≤ n},

exigindo que

$xe_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbf {Q} .$

Aqui e₁, ..., e_n é uma base fixada de F, visto como um espaço Q-vetorial. Os números racionais a_ij são determinados unicamente por x e a escolha de uma base, uma vez que todo elemento de F pode ser unicamente representado como uma combinação linear dos elementos da base. Esta forma de associar uma matriz a qualquer elemento do corpo F é chamada de representação regular. A matriz quadrada A representa o efeito da multiplicação por x na base dada. Segue-se que se o elemento y de F é representado por uma matriz B, então o produto xy é representado pelo produto matricial BA. Invariantes de matrizes, tais como o traço, o determinante e o polinômio característico, dependem exclusivamente do elemento x do corpo e não da base. Em particular, o traço da matriz A(x) é chamado de traço do elemento x do corpo e é denotado por Tr(x), e o determinante é chamado de norma de x e é denotado por N(x).

Por definição, propriedades padrão de traços e determinantes de matrizes são válidas para Tr e N: Tr(x) é uma função linear de x, no sentido de que Tr(x + y) = Tr(x) + Tr(y), Tr(λx) = λ Tr(x), e a norma é uma função homogênea multiplicativa de grau n: N(xy) = N(x) N(y), N(λx) = λⁿ N(x). Aqui λ é um número racional, e x, y são dois elementos quaisquer de F.

A forma do traço T(x,y) é uma forma bilinear definida por meio do traço como Tr(xy). A forma de traço integral é uma matriz simétrica M a valores inteiros definida por t_ij = Tr(b_ib_j), onde b₁, ..., b_n é uma base inteira para F. O discriminante de F é definido como det(M). Este é um número inteiro, e é uma propriedade invariante do corpo F, não dependendo da escolha da base.

A matriz associada a um elemento x de F também pode ser usada para dar outras descrições equivalentes dos inteiros algébricos. Um elemento x de F é um inteiro algébrico se, e somente se, o polinômio característico p_A da matriz A associada a x é um polinômio mônico com coeficientes inteiros. Suponha que a matriz A que representa um elemento x tenha entradas inteiras em alguma base. Pelo teorema de Cayley–Hamilton, p_A(A) = 0, e resulta que p_A(x) = 0, de modo que x é um inteiro algébrico. Na outra direção, se x é um elemento de F que é uma raiz de um polinômio mônico com coeficientes inteiros, então a mesma propriedade vale para a matriz A correspondente. Neste caso, pode-se provar que A é uma matriz inteira em uma base adequada de F. Observe que a propriedade de ser um inteiro algébrico é definida de uma forma independente da escolha de uma base de F.

Exemplo

Considere F = Q(x), onde x satisfaz f(x) = x³ − 11x² + x + 1 = 0. Uma base inteira é [1, x, 1/2(x² + 1)], e forma do traço integral correspondente é

${\begin{bmatrix}3&11&61\\11&119&653\\61&653&3589\end{bmatrix}}.$

O "3" no canto superior esquerdo desta matriz é o traço da matriz da aplicação definida pelo primeiro elemento da base (1) na representação regular de F sobre Q. Este elemento da base induz a aplicação identidade no espaço vetorial F de dimensão 3. O traço da matriz identidade em um espaço vetorial é igual a sua dimensão sobre o corpo base.

O determinante desta matriz é 1304 = 2³·163, o discriminante do corpo. Compare com o discriminante do polinômio f, que é 5216 = 2⁵·163.

Ver também

• Teorema das unidades de Dirichlet, S-unidade
• Extensão de Kummer
• Teorema de Minkowski, Geometria dos números
• Teorema da densidade de Chebotarev
• Grupo de decomposição
• Corpo de gêneros

Referências

• Cohn, Harvey (1988), A Classical Invitation to Algebraic Numbers and Class Fields, Universitext, New York: Springer-Verlag 
• Conrad, Keith http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf
• Janusz, Gerald J. (1996), Algebraic Number Fields (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0429-2 
• Helmut Hasse, Number Theory, Springer Classics in Mathematics Series (2002)
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
• Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
• Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
• Narkiewicz, Władysław (2004), Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics (3 ed.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267 
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• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 1136.11001 
• André Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995