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Em matemática, cortes de Dedekind, nome em homenagem a Richard Dedekind, são subconjuntos especiais do corpo ordenado , os números racionais, que são usados para construir um corpo ordenado completo arquimediano.

Um subconjunto é um corte se satisfaz às seguintes propriedades:

  1. ;
  2. Se e é tal que , então temos que ;
  3. Se , então , com .

Intuitivamente um corte é uma semirreta racional que não tem maior elemento.

Índice

Exemplos de cortesEditar

  • O conjunto dos números racionais menores que 2;
  • O conjunto dos números racionais cujos quadrados são menores que dois, unidos com todos os números racionais negativos, ou seja,  .

Definição das OperaçõesEditar

Considerando D o conjunto de todos os cortes, podemos definir uma ordem, uma soma e uma multiplicação de elementos de D, de forma com que D seja um corpo ordenado com a propriedade arquimediana, e finalmente, D, definido dessa forma satisfaz o Postulado de Dedekind, ou seja, D é um corpo completo.

SomaEditar

Queremos definir a função soma  , que leva um par (A,B) em um elemento A+B de D. Definimos  . Pode-se provar que o conjunto A+B assim definido é um corte e que a função soma tem as propriedades associativa, comutativa, tem elemento neutro e que todos os cortes tem um oposto aditivo. Desta forma (D, +) é um grupo abeliano.

Ver tambémEditar