Tensor de curvatura de Riemann

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Em geometria diferencial, tensor de curvatura é uma das noções métricas mais importantes. Um tensor de curvatura é uma generalização da curvatura de Gauss em dimensões mais altas (dois exemplos disto são o tensor de Riemann que se desenvolve neste artigo e o tensor de Ricci).

A geometria infinitesimal das variedades de Riemann com dimensão ≥ 3 é demasiado complicada para ser descrita totalmente por um número em um ponto dado (tal como sucede quando a dimensão é menor ou igual a 2). Assim em 2 dimensões a curvatura pode ser representada por um número escalar (ou tensor de ordem zero), em 3 dimensões a curvatura pode ser representada por um tensor de segundo (como por exemplo o tensor de Ricci). Entretanto para dimensões totalmente gerais se necessita ao menos um tensor de quarta ordem (como o tensor de Riemann). Foi Riemann quem introduziu uma maneira de descrever completamente a curvatura em qualquer número de dimensões mediante um "pequeno monstro" de tensor, chamado tensor de Riemann.

DescriçãoEditar

Definição geralEditar

Seja   uma variedade diferenciável dotada de uma conexão  , definida em um ponto   da variedade. O tensor de Riemann é o campo tensorial   de tipo (1,3) que satisfaz a igualdade

 ,

em que   são campos vetoriais em  , sendo   o colchete de Lie dos campos vetoriais.   é linear em  , de modo que o valor de   em   só depende dos valores de   e   em  .[1] É importante destacar que o tensor de Riemann é algumas vezes representado pelo sinal oposto.

O teorema de Schwarz afirma que no espaço euclidiano as derivadas parciais comutam: este fato não é verdade em uma variedade com conexão arbitrária, e o tensor de Riemann leva isso em consideração. Então, é possível interpretar o tensor de curvatura de Riemann como o modo de medir o quanto a variedade   difere de um espaço euclidiano, ou de um espaço de Minkowski no contexto da relatividade. Logo, um espaço é dito plano quando o tensor de Riemann é zero.

Considerando um sistema de coordenadas  , em que   e  . Então,   e portanto a fórmula simplifica como

 ,

ou seja, neste caso o tensor de curvatura mede a não-comutatividade da derivada covariante.[2]

Expressão em coordenadasEditar

Considerando a base coordenada   e sua correspondente dual  , o tensor de Riemann pode ser expresso como

 ,

em que   representa o produto interno.

Deste modo, a expressão pode ser representada em termos de coordenadas usando os símbolos de Christoffel. Valendo-se da convenção do somatório de Einstein, pode-se representá-lo como

 ,

sendo  .[3]

Comutadores e índicesEditar

Dado um quadrivetor genérico  , o tensor de Riemann surge da comutação da derivada covariante segunda desse quadrivetor, ou seja,[4]

 ,

no qual   é o tensor de torção.

Considerando o caso em que não há torção, isto é,

 ,

o tensor de Riemann expressa a diferença medida da curvatura da variedade   quando o vetor   é transportado do ponto   para um ponto  , primeiramente ao longo de uma congruência, e depois seguindo outra congruência, ou vice-versa.[5]

Versão covarianteEditar

O tensor métrico covariante   pode se usado para abaixar um índice do tensor de Riemann, assim como o tensor contravariante   pode levantar um índice. Assim, a versão completamente covariante do tensor de curvatura do tipo (0,4) é dada por

 

PropriedadesEditar

Simetrias algébricasEditar

O tensor de Riemann é antissimétrico nos dois últimos índices, ou seja,

 ,
 .

Na sua forma completamente covariante, o tensor de Riemann é antissimétrico em relação à troca dos dois primeiros índices, isto é,

 ,

e é simétrico em relação à troca do primeiro par de índices com o segundo:

 .

Primeira identidade de BianchiEditar

Na ausência de torção, temos:

 .

Esta relação também pode ser escrita mais como

 ,

em que   indica uma antissimetrização nos índices. Assim, deve-se efetuar uma soma sobre todas as permutações dos três últimos índices, com um sinal correspondente à paridade da permutação. Resultando em 6 termos, mas que podem ser acoplados em virtude das propriedades algébricas descritas acima.

Componentes independentesEditar

Embora o tensor de Riemann tenha   componentes, em que   é a dimensão da variedade sobre qual o tensor é definido, as relações descritas anteriormente reduzem este número a   componentes independentes. Para duas, três e quatro dimensões, o número de componentes independentes é respectivamente 1, 6 e 20.[6]

Segunda identidade de BianchiEditar

A segunda identidade de Bianchi é parecida com a primeira, mas leva em consideração a derivada covariante do tensor de Riemann. Na ausência de torção, a identidade possui a seguinte forma:

 .

Essa igualdade pode ser escrita de forma mais concisa como[7]

 .

Tensor de curvatura de RicciEditar

O tensor de curvatura de Ricci é a contração do primeiro e terceiro índice do tensor de Riemann.

 

Referências

  1. S. W. Hawking; G. F. R. Ellis (1973). The large scale structure of space-time. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 35–36. ISBN 0-521-09906-4 
  2. Mandredo P. do Carmo (2015). Geometria Riemanniana 5ª ed. Rio de Janeiro: IMPA. pp. 99–104. ISBN 978-852440036-0 
  3. Mikio Nakahara (2003). Geometry, topology and physics 2ª ed. [S.l.]: IOP Publishing. pp. 273–374. ISBN 0-7503-0606-8 
  4. Sean Carroll (2004). Spacetime and Geometry. San Francisco: Addison Wesley. pp. 121–123. ISBN 0-8053-8732-3 
  5. Luciano Rezzolla; Olindo Zanotti (2013). Relativistic Hydrodynamics. Oxford: Oxford University Press. pp. 41–46. ISBN 978-0-19-852890-6 
  6. Ray D'Inverno (1992). Introducing Einstein's Relativity. Nova Iorque: Oxford University Press. pp. 86–87. ISBN 0-19-859686-3 
  7. Sean Carroll (2004). Spacetime e Geometry. San Francisco: Addison Wesley. pp. 126–128. ISBN 0-8053-8732-3