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Dízima periódica

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Uma dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período.[1]

DízimasEditar

1:2= 0,5= 50% - dízima finita

0,3333333333... - dízima infinita

0, (3) - Período da dízima

Período e Comprimento de uma dízima infinita periódicaEditar

0,4629629... =0,4 (629)

período= 629

comprimento do período= 3

Notas:

Comprimento do período é o número de dígitos do período.

Dízima periódica simplesEditar

Numa dízima periódica simples, o período aparece imediatamente após a vírgula[1] (a parte decimal do número).

Exemplos:

  • 0,444444…
  • 0,5125125125…
  • 0,68686868…
  • 0,354235423542..
  • 5,73737373...

Dízima periódica compostaEditar

Na dízima periódica composta, pode haver uma parte inteira e há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entram na composição do período,[1] (que denominamos de antiperíodo[2]).

Exemplos:

  • 0,7888…
  • 0,58444444…
  • 0,15262626…
  • 2,34222222...

Exemplos e notaçãoEditar

A repetição normalmente é representada pelo sinal de reticências:

  •  
  •  
  •  
  •  

Outra notação utilizada é a de pôr um traço sobre o período:

  •  
  •  
  •  
  •  

Fração geratriz de uma dízima periódica simplesEditar

Toda dízima periódica representa um número racional,[1] isto é justificado de forma construtiva, ou seja, encontrando a fração que dá origem à dízima.

ExemploEditar

1. Seja a dízima  . Observamos a repetição do termo 53 formado por dois algarismos, tomamos então o número  [1]:

 

Fizemos isto (multiplicamos ambos membros da equação por 10) para mover a parte não periódica da dízima (o algarismo 2) para antes da vírgula.

2. Agora, multiplicamos novamente a expressão por um múltiplo de 10, desta vez tomando como referência a quantidade de algarismos que formam o período. No caso, são dois algarismos que formam o período (5 e 3), portanto, multiplicamos a expressão por 100 (a quantidade de zeros equivale à quantidade de algarismos do período):

 

3. Se subtrairmos   de   temos:

 

Assim, concluímos que  

O raciocínio acima mostra como eliminar a dízima periódica de um número e transformá-lo em fração.

Outro método mais elaborado para calcularem-se frações geratrizes é por meio de progressões geométricas e a soma de infinitos termos.

A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é composto pela parte inteira, o antiperíodo, juntamente do período representando-os como número inteiro e diminuido do antiperíodo e cujo denominador é formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período, juntamente com a quantidade de zeros que representa a quantidade de algarismos do antiperíodo.[3]

Ex.: Achar a geratriz de:

0,14275275275...

Antiperíodo=14: número de algarismos = 2 (00) Período = 275: número de algarismos = 3 (999)

Se fizermos  , dará  

,

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b c d e João José Luiz Vianna, Elementos de Arithmetica, capítulo IV. Texto disponível no wikisource
  2. «Fração geratriz - Matemática - UOL Educação». educacao.uol.com.br. Consultado em 15 de julho de 2015 
  3. «Fração geratriz - Matemática - UOL Educação». educacao.uol.com.br. Consultado em 15 de julho de 2015