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Decaimento exponencial

Numa substância radioativa, cada átomo tem uma certa probabilidade, por unidade de tempo de se transformar num átomo mais leve emitindo radiação nuclear no processo. Se representa essa probabilidade, o número médio de átomos que se transmutam, por unidade de tempo, é , em que é o número de átomos existentes em cada instante.[1] O número de átomos transmutados por unidade de tempo é também igual a menos a derivada temporal da função

Decaimento exponencial de uma substância radioativa.

A massa dos correspondentes átomos, , é diretamente proporcional a e assim obtemos a seguinte equação diferencial

onde é uma constante, designada de constante de decaimento. A solução geral desta equação é uma função que diminui exponencialmente até zero

e a solução única para a condição inicial no instante inicial é (figura ao lado)

A definição de meia-vida da substância define-se como o tempo necessário para a massa diminuir até 50% do valor inicial; a partir da solução obtida temos

Quanto maior for a constante de decaimento , mais rápido diminuirá a massa da substância (ver figura).

Uma substância radioativa presente em todos os organismos vivos é o carbono 14 que decai transformando-se em azoto, com uma meia-vida de aproximadamente 5580 anos. O conteúdo de em relação ao de qualquer organismo vivo é o mesmo.

A razão é a seguinte: no fim da cadeia alimentar dos seres vivos estão os organismos que absorvem o carbono diretamente da atmosfera e portanto a relação nos seres vivos é a mesma que na atmosfera. Na atmosfera esta relação é estável há muitos anos; os organismos mortos, em processo de decomposição perdem como resultado do decaimento radioativo e não o regeneram através da dieta. O azoto que a atmosfera ganha dos organismos em decomposição é transformado novamente em pelos raios cósmicos, nas camadas superiores. Uma comparação do conteúdo de carbono 14 de um organismo morto, por exemplo madeira obtida de uma árvore, com o conteúdo existente num organismo vivo da mesma espécie, permite determinar a data da morte do organismo, com uma boa precisão quando o tempo envolvido for da ordem de grandeza da meia-vida do carbono 14.[1]

Referências

  1. a b [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.