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No cálculo vectorial, o del é um operador diferencial representado pelo símbolo nabla

Derivada em função do espaçoEditar

Seja um campo escalar diferenciável   em função do vector espaço   Então:

 

Em altas ordensEditar

A derivada em função do espaço em alta ordem é representada por uma multiplicação simbólica como no exemplo abaixo (de 2ª ordem):

 

Essa operação é comutativa de acordo com o teorema de Clairaut-Schwarz, então, do exemplo acima pode-se afirmar que:

 

Quando os índices são iguais podemos fazer uma exponenciação simbólica.

 

Em outras coordenadas ortogonaisEditar

Para todo sistema de coordenadas ortogonal   temos que:

 

OperaçõesEditar

Seja um campo escalar   e um campo vectorial   ambos diferenciáveis em função do vector espaço  

GradienteEditar

 
Visualização da interpretação de gradiente - o campo escalar domínio está em preto e a imagem, vectorial, em azul.

Em cada ponto, o gradiente aponta para o vizinho que representar o maior incremento infinitesimal. O gradiente é um campo vectorial e seu domínio é um campo escalar.

 

Portanto o gradiente de   para três dimensões no espaço carteseano   é dado por:

 

O processo de computação do gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente.

 

Identidades do gradienteEditar

  1.  
  2.  

Derivada direcionalEditar

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar (no caso, f) ao longo de um vector (no caso abaixo,  ).

 

Em coordenadas cartesianas,

 

Em coordenadas cilíndricas,

 

DivergênciaEditar

A divergência (ou divergente) é um campo escalar igual ao traço (álgebra linear) da matriz jacobiana dum campo vectorial.

 

Portanto a divergência de   para três dimensões no espaço carteseano   é dada pela seguinte soma:

 

Denomina-se convergência o inverso aditivo da divergência.

Identidades da divergênciaEditar

  1.  

RotacionalEditar

A rotacional (ou rotor) é o determinante entre três bases padrões, três componentes do vector del e três componentes dum campo vectorial.

 

Pelo teorema de Laplace o rotor de   no espaço carteseano   é:

 

Identidades do rotacionalEditar

  1.  

Operações combinadasEditar

Das nove possíveis simples combinações entre os operadores gradiente, divergente e rotor duas a duas, quatro são impossíveis, duas são triviais nulas (sempre resultam em zero) – restam três operadores dos quais um recebe um nome especial, que é o divergente do gradiente denominado laplaciano.

…gradiente de   …divergente de   …rotor de  
Gradiente do… (indefinido) Gradiente do divergente (indefinido)
Divergente do… Laplaciano escalar (indefinido) (trivial nulo)
Rotor do… (trivial nulo) (indefinido) Rotor do rotor

Todas essas três operações definidas e não-triviais são relacionadas pela seguinte identidade:

 

LaplacianoEditar

O laplaciano escalar é o divergente do gradiente ou o traço (álgebra linear) da matriz hessiana dum campo escalar.

 

Onde:

 

O laplaciano de   para três dimensões no espaço carteseano   é dado pela seguinte soma:

 

Outras combinaçõesEditar

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.   dado que funções   e   têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
  7.   dado que funções   e   têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
  8.   dado que funções   e   têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas

Laplaciano vectorialEditar

Cada componente do laplaciano vectorial representa o laplaciano do componente respectivo do campo vectorial argumento.

 

Onde:

 

Portanto o laplaciano vectorial de   para três dimensões no espaço carteseano   é:

 

Vector delEditar

Apesar de se tratar dum grave caso de abuso de notação, é muito comum se encontrar a seguinte definição de vector del:

 

…onde   é o módulo do vetor  

Em coordenadas cartesianasEditar

Em coordenadas cartesianas, em que   obtém-se:

 

Em coordenadas cilíndricasEditar

Em coordenadas cilíndricas em que   obtém-se:

 

Em coordenadas esféricasEditar

Em coordenadas esféricas, em que   obtém-se:

 

Derivada direcional com o vector delEditar

Com o vector del, a derivada direcional pode ser redefinida como a combinação linear de   com  

 

Em três dimensões no espaço carteseano   temos que:

 

E:

 

Divergência com o vector delEditar

A divergência passa a ser a combinação linear (não o produto escalar! – veja abaixo) entre o vector del e o campo vectorial em questão:

 

Laplaciano com o vector delEditar

A combinação linear do vector del consigo mesmo forma o operador laplaciano:

 

Em três dimensões no espaço carteseano   teriamos que:

 

Rotacional com o vector delEditar

Daí admitimos outro abuso de notação para definir rotacional:

 

Nesse caso, de certa forma, temos sim um produto vectorial entre o vector del e o campo vectorial.

Riscos do abuso de notaçãoEditar

O uso do vector del pode gerar muita confusão – por exemplo, a multiplicação envolvendo vector del e não é comutativa, distributiva nem euclideana; também o vector del não tem magnitude nem direcção. Esses fatores podem induzir iniciantes ao erro.

Alternativas ao símbolo nablaEditar

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica. Ainda assim, alguns autores preferem escrever a sigla de cada operador apresentado acima ao invés de usar o nabla:

 

 

 

No caso do rotacional as siglas podem fazer referências aos termos anglófonos como "curl" ou "rotor":

 

Já o laplaciano pode ser representado pela letra grega delta maiúscula em vez do tradicional nabla elevado ao quadrado.

 

 

Notação de EinsteinEditar

Na notação de Einstein substituimos a forma   por   e assumimos o vector del  

Seja   um campo escalar e   um campo vectorial ambos diferenciaveis em função do espaço  

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

A derivada direcional fica denotada por:

 
upgrade

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar

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