Del em coordenadas cilíndricas e esféricas

Esta é uma lista de algumas fórmulas de cálculo do vetor para trabalhar com sistemas comuns de coordenadas curvilíneas[nt 1].

Conversões de coordenadasEditar

Conversão entre coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas
De
Cartesiano Cilíndrico Esférico
Para Cartesiano      
Cilíndrico      
Esférico      

Conversões de vetor unitárioEditar

Conversão entre vetores unitários em sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas em termos de coordenadas de destino
Cartesiano Cilíndrico Esférico
Cartesiano não aplicável    
Cilíndrico   não aplicável  
Esférico     não aplicável
Conversão entre vetores unitários em sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas em termos de coordenadas de "fonte"
Cartesiano Cilíndrico Esférico
Cartesiano não aplicável    
Cilíndrico   não aplicável  
Esférico     não aplicável

Fórmula DelEditar

Tabela com o operador del em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas
Operação Coordenadas cartesianas (x, y, z) Coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z) Coordenadas esféricas (r, θ, φ), onde   é o polar e θ é o ângulo azimutal α
campo vetorial A      
Gradiente f      
Divergência ∇ ⋅ A      
Rotacional ∇ × A      
Operador de Laplace 2f ≡ ∆f      
Vetor de Laplace 2A ≡ ∆A  

 

  }}

Derivada materialα[1] (A ⋅ ∇)B    

  }}

tensor divergente ∇ ⋅ T

 

 

 

Deslocamento diferencial d      
Área normal diferencial dS      
Volume diferencialdV      
↑α Esta página usa   para o ângulo polar e   para o ângulo azimutal, que é uma notação comum na física. A fonte que é usada para essas fórmulas usa   para o ângulo azimutal e   para o ângulo polar, que é uma notação matemática comum. Para obter as fórmulas de matemática, altere   e   nas fórmulas mostradas na tabela acima.

Regras de cálculo não triviaisEditar

  1.  
  2.  
  3.  
  4.   (Fórmula de Lagrange para del)
  5.  

Derivação cartesianaEditar

 

 


 

As expressões para   e   são encontradas da mesma maneira.[nt 2]

Derivação cilíndricaEditar

 

 

 

 

 

 

Derivação esféricaEditar

 

 

 

 

 

 

NotasEditar

  1. Este artigo usa a notação padrão ISO 80000-2, que substitui a ISO 31-11, para coordenadas esféricas (outras fontes podem reverter as definições de θ e φ):
    • O ângulo polar é denotado por θ: é o ângulo entre o eixo z e o vetor radial que liga a origem ao ponto em questão.
    • O ângulo azimutal é denotado por φ: é o ângulo entre o eixo x e a projeção do vetor radial no plano xy.
    A função atan2 (y, x) pode ser usada em vez da função matemática arctan (y/x) devido ao seu domínio e imagem. A função arctan clássica possui uma imagem de (−π/2, +π/2), enquanto que atan2 é definido como tendo uma imagem de (−π, π).
  2. "curl" querer dizer "Rotacional"

Referências

  1. Weisstein, Eric W. «Convective Operator». Mathworld. Consultado em 23 de março de 2011 
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