Densidade (Topologia)

Em topologia um subconjunto de um espaço topológico é dito denso se para cada ponto desse espaço for possível encontrar um ponto do subconjunto denso tão próximo quanto se queira de .

Definicão e EquivalênciasEditar

Seja   um espaço topológico; dizemos que   é denso no espaço   se para cada aberto   a intersecção   for não-vazia. Verifica-se, facilmente, que as seguintes afirmações são equivalentes

  1.   é denso;
  2.  ;
  3. Para cada elemento   de uma base   de  , se verifica  ;
  4. Para cada  , cada base local   e cada  , se verifica  .

A cada espaço topológico   pode ser associado um cardinal  , chamado de densidade do espaço   dado por

 .

Dizemos que um espaço   é separável se possuir um denso enumerável, i.e.  .

O leitor é convidado a verificar que  , onde   é o peso do espaço   (i.e. a menor cardinalidade que uma base do espaço   pode admitir).

Propriedades BásicasEditar

  • Sejam   espaços topológicos, sendo   Hausdorff. Quaisquer funções contínuas   que coincidem em um denso de   são iguais;
  • Imagens de denso por sobrejeções contínuas são conjuntos densos;

ExemplosEditar

  • O conjunto dos racionais   é denso em   com a topologia usual; mais ainda,   é denso na reta de Sorgenfray. Isso faz com que ambos espaços sejam separáveis. É notável observar que, embora separável, a reta de Sorgenfray não é segundo-contável, testemunhando, portanto, que a desigualdade   não pode ser reposta por uma igualdade.
  • O espaço produto   é separável.
  • Para cada espaço de medida   e para cada  ,   o espaço   é separável. Em particular, os espaços   é separável. Mas   não é separável.
  • O espaço de Banach das funções de variação limitada não é separável.
  • Separabilidade não é uma propriedade hereditária, i.e. subspaços de espaços separáveis em geral não são separáveis. De fato, topologizando   através do sistema de vizinhanças  , tal que  , se   e  , se  . Nesta topologia,   é denso em  , mas o conjunto dos irracionais não admite subconjunto denso enumerável.

Teorema de Hewitt-Marczeewski-PondiczeryEditar

Sejam   uma família de espaços topológicos e   um cardinal tal que  . Se, para cada  ,   então  .

Em particular, o teorema acima afirma que o produto de   espaços separáveis é um espaço separável.

BibliografiaEditar

  • Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3885380064.