Densidade espectral

Densidade espectral, ou power spectral density (PSD), ou energy spectral density (ESD); é uma função real positiva de uma frequência variável associada com um processo estocástico, ou uma função determinística do tempo, que possua dimensão de energia ou força por Hertz. Geralmente é chamada apenas por espectro do sinal. Intuitivamente, a densidade espectral auxilia na captura da frequência do processo estocástico e identifica periodicidades.

Na física, o sinal geralmente surge como uma função de onda - como por exemplo ocorre na radiação eletromagnética - ou em ondas sonoras. A densidade de espectro da onda, quando multiplicado pelo fator apropriado dá a força carregada pela onda, por unidade de frequência, tratada como a densidade espectral de força (power spectral density) do sinal. Ela é geralmente expressada na unidade Watts por Hertz ().[1]

DefiniçãoEditar

Densidade espectral de energiaEditar

A densidade espectral de energia descreve como a energia de um sinal ou uma série temporal será distribuída com frequência. Se   é uma função integrável de energia finita, a densidade espectral   do sinal será o quadrado da magnitude da transformada de Fourier do sinal.

 

onde   é a frequência angular e   é a transformada de Fourier de  , e   é seu conjugado complexo.

Se os sinais forem discretos com valores  , sobre um infinito número de elementos, ainda têm-se uma densidade espectral de energia:

 

onde   é a transformada de Fourier de tempo discreto de  .

Densidade espectral de potênciaEditar

A definição acima de densidade espectral de energia requer que a transformada de Fourier exista, ou seja, que a integral quadrada seja calculável, isto nem sempre é possível. Uma alternativa mais comum é a densidade espectral de força, que descreve como a força de um sinal ou tempo serial é distribuído com frequência. Conceitua-se força como a força física ou, mais comumente, como a força dissipada à carga, se o sinal for uma tensão elétrica aplicada no sistema. Esta força instantânea é dada por

 

para um sinal  .

Já que um sinal com força média não nula não terá integral quadrada calculável, a transformada de Fourier não se aplicará a este caso. Sendo necessário recorrer ao Teorema de Wiener–Khinchin, o qual provê uma alternativa. Neste teorema o sinal pode ser tratado como um processo estacionário.[2] Que pode ser escrito como

 

A média do conjunto para o intervalo quando o tempo tender para o infinito pode ser provado (Brown & Hwang[3]) pelo método da densidade espectral de força:

 

A força do sinal na frequência dada pode ser calculada pela integral sobre as frequências positivas e negativas,

 

A densidade espectral de força de um dado sinal existe se e somente se o sinal pertencer a um processo estacionário. Se o sinal não for estacionário, então a função correlacional precisará ser uma função de duas variáveis e a densidade espectral de força não existirá.

A densidade espectral de força   é definida como[4]

 

AplicaçõesEditar

O conceito de densidade espectral de um sinal é fundamental para a engenharia eletrônica, especialmente em telecomunicação. Muito esforço tem sido feito para se desenvolver o que ficou conhecido por analisador de espectro para auxiliar engenheiros dos mais diversos campos na medição e observação da densidade espectral de força de um sinal elétrico.

Referências

  1. Gérard Maral (2003). VSAT Networks (em inglês). [S.l.]: John Wiley and Sons. ISBN 0470866845 
  2. Dennis Ward Ricker (2003). Echo Signal Processing (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 140207395X 
  3. Robert Grover Brown & Patrick Y.C. Hwang (1997). Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 0471128392 
  4. Wilbur B. Davenport & Willian L. Root (1987). An Introduction to the Theory of Random Signals and Noise (em inglês). New York: IEEE Press. ISBN 0-87942-235-1 

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar