Derivada simétrica

Em matemática, a derivada simétrica é uma operação relacionada à derivada ordinária. É conhecida também como derivada de Vallée Poussin ou derivada de Peano simétrica.

derivada
figura 1

É definida como:

Ou seja, se uma função é simetricamente diferenciável em todos os pontos do intervalos, então tem derivadas simétricas nesse intervalo. Observando graficamente (figura 1) é possível notar que a interpretação da derivada e a interpretação da derivada simétrica parece ser a mesma, mas desde do ponto de vista analítico, ambos os conceitos não são equivalentes.

A esse limite denotaremos como .

Relação com a DerivadaEditar

Seja   uma função e   Є   . Suponha que   e   existem, então   tem derivada simétrica em  , e

  •   .

Demonstração:Editar

Por hipótese existem   e  . Nota-se que existe  . Então tomando

 

 

 

 

 

com isso,

  .

Observação 1 :Editar

Se existir a derivada simétrica   então não significa que existem as derivadas   e   . Vejamos com um exemplo:

  • Considere a função   definida como:

 

  

 .

Basta examinar se se a função   tem derivada simétrica em  .

veja:

 

 

 

 

  , portanto a derivada simétrica de   em zero existe e é igual a zero.

com isso, verifica-se que   não tem derivada à direita em zero:

 

 

  , pois este limite não existe no zero e portanto   não tem derivada pela direita no ponto zero e é fácil ver,analogamente, pela esquerda.

com isso mostra-se que se   tem derivada simétrica em um ponto não necessariamente tem derivada nesse ponto.

Observação2:Editar

Sabe-se da derivada que cada função diferenciável em um ponto é contínua nesse ponto. Mas uma função descontínua em um ponto pode ter derivada simétrica nesse ponto.Observe:

  • Seja   uma função definida por :

    e   , esta função tem derivada simétrica em zero, note:

 

 

  , portanto   é diferenciável simetricamente em  , mas não é contínua em zero.Isso não ocorre com as funções diferenciáveis.

Observação 3:Editar

  • Seja     uma função. Sabe-se que   é uma função par se satisfaz  , para todo   Є  

Perceba que a função da Observação 1 é função par.

  • Seja   uma função par, então   tem derivada simétrica no ponto 0.

Demonstração:

Como   é uma função par, temos que:  , logo   então  , ou seja ,  

ReferênciasEditar

  • Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. [S.l.]: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0