Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Em álgebra linear e geometria analítica, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, também conhecida como a desigualdade de Schwarz, a desigualdade de Cauchy, ou a desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, é uma desigualdade muito útil que aparece em vários contextos diferentes, tais como em análise, aplicando-se a séries infinitas e integração de produtos, e na teoria de probabilidades aplicando-se as variâncias e covariâncias.

A desigualdade garante que, para quaisquer dois vectores e de um espaço vectorial com produto interno, se tem

com igualdade se, e só se, u e v forem linearmente dependentes[1].

Essa desigualdade para somas foi publicada por Augustin Cauchy (1821), enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi primeiro estabelecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) e redescoberta por Hermann Amandus Schwarz (1888) (às vezes chamado erroneamente de "Schwartz").

ExemploEditar

Se x e y são vectores com n coordenadas a desigualdade toma a forma

 

Em análise esta desigualdade pode ser aplicada a séries infinitas.

Demonstração (Caso complexo)Editar

Como a desigualdade é trivialmente verdadeira no caso y = 0, podemos assumir que   é diferente de zero.

Seja   um número complexo. Então,

 

Escolhendo

 
temos que

 

o que é verdadeiro, se e somente se

 

ou de modo equivalente:

 
Q.E.D.

Demonstração 2 (Caso real)Editar

Se   for o vector nulo, o resultado é imediatamente verdadeiro. Suponhamos, agora, que  

Para um número real   arbitrário, tem-se, pelas propriedades do produto interno:

 

Desenvolvendo esta desigualdade:

 
 
 
 

O membro do lado esquerdo desta equação é um polinómio do segundo grau em   com a concavidade voltada para cima, pois o termo em   é a norma de um vector. Assim sendo, só será não-negativo (condição necessária para manter a desigualdade) se não tiver zeros, o que só acontece se o seu binómio discriminante for menor ou igual que zero. Simbolicamente:

 
 

Sabendo que  

 

 
Q.E.D.

Para a última parte do teorema, basta observar que apenas haverá igualdade se a função em   tiver uma única raiz real, o que só acontece se   e implica que   que é o mesmo que dizer que os vectores são linearmente dependentes.

Referências

  1. QUEIRÓ, J. F.; SANTANA, A. P. (2010). Introdução à Álgebra Linear (1.ª edição). Gradiva ISBN 978-989-636-372-3. Páginas 147 e 148.

Ver tambémEditar