Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Em álgebra linear e geometria analítica, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, também conhecida como a desigualdade de Schwarz, a desigualdade de Cauchy, ou a desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, é uma desigualdade muito útil que aparece em vários contextos diferentes, tais como em análise, aplicando-se a séries infinitas e integração de produtos, e na teoria de probabilidades aplicando-se as variâncias e covariâncias.

A desigualdade garante que, dado um espaço vetorial $V$ com produto interno $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbb {R}$, então para quaisquer dois vetores $u,v\in V$ se tem

$$\langle u,v\rangle ^{2}\leq \langle u,u\rangle \cdot \langle v,v\rangle$$

com igualdade se, e só se, u e v forem linearmente dependentes.

Essa desigualdade para somas foi publicada por Augustin Cauchy (1821), enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi primeiro estabelecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) e redescoberta por Hermann Amandus Schwarz (1888) (às vezes chamado erroneamente de "Schwartz").

Exemplo

Se x e y são vectores com n coordenadas a desigualdade toma a forma

$$(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+\cdots +b_{n}^{2}).$$

Em análise esta desigualdade pode ser aplicada a séries infinitas.

Demonstração (Caso complexo)

Como a desigualdade é trivialmente verdadeira no caso y = 0, podemos assumir que $\langle y,y\rangle$ é diferente de zero.

Seja $\lambda$ um número complexo. Então,

$$0\leq \left\|x-\lambda y\right\|^{2}=\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -{\bar {\lambda }}\langle x,y\rangle -\lambda \langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle .$$

Escolhendo

$$\lambda =\langle x,y\rangle \cdot \langle y,y\rangle ^{-1}$$

temos que

$$0\leq \langle x,x\rangle -|\langle x,y\rangle |^{2}\cdot \langle y,y\rangle ^{-1}$$

o que é verdadeiro, se e somente se

$$\langle x,y\rangle ^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$$

ou de modo equivalente:

$${\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|.$$

Q.E.D.

Demonstração 2 (Caso real)

Se $y$ for o vector nulo, o resultado é imediatamente verdadeiro. Suponhamos, agora, que $y\neq 0.$

Para um número real $t,$ arbitrário, tem-se, pelas propriedades do produto interno:

$$\langle x-ty,x-ty\rangle \geq 0$$

Desenvolvendo esta desigualdade:

$$\langle x-ty,x-ty\rangle \geq 0\Leftrightarrow \left(x-ty\right)^{T}\left(x-ty\right)\geq 0$$

$$\Leftrightarrow \left(x-ty\right)^{T}\left(x-ty\right)\geq 0\Leftrightarrow \left(x^{T}-ty^{T}\right)\left(x-ty\right)\geq 0$$

$$\Leftrightarrow x^{T}x-tx^{T}y-ty^{T}x+t^{2}y^{T}y\geq 0\Leftrightarrow x^{T}x-2tx^{T}y+t^{2}y^{T}y\geq 0$$

$$\Leftrightarrow x^{T}x-2tx^{T}y+t^{2}y^{T}y\geq 0$$

O membro do lado esquerdo desta equação é um polinómio do segundo grau em $t,$ com a concavidade voltada para cima, pois o termo em $t^{2}$ é a norma de um vector. Assim sendo, só será não-negativo (condição necessária para manter a desigualdade) se não tiver zeros, o que só acontece se o seu binómio discriminante for menor ou igual que zero. Simbolicamente:

$$\Leftrightarrow x^{T}x-2tx^{T}y+t^{2}y^{T}y\geq 0\Leftrightarrow \left(-2x^{T}y\right)^{2}-4y^{T}yx^{T}x\leq 0$$

$$\Leftrightarrow 4\left(\left(x^{T}y\right)^{2}-y^{T}yx^{T}x\right)\leq 0\Leftrightarrow \left(x^{T}y\right)^{2}-y^{T}yx^{T}x\leq 0$$

Sabendo que $x^{T}x=\langle x,x\rangle =\|x\|^{2},$

$$\Leftrightarrow \langle x,y\rangle ^{2}-\|x\|^{2}\|y\|^{2}\leq 0\Leftrightarrow \langle x,y\rangle ^{2}\leq \|x\|^{2}\|y\|^{2}$$

$$\Leftrightarrow \langle x,y\rangle \leq \|x\|\|y\|.$$

Q.E.D.

Para a última parte do teorema, basta observar que apenas haverá igualdade se a função em $t$ tiver uma única raiz real, o que só acontece se $\langle x-ty,x-ty\rangle =0$ e implica que $x=ty,$ que é o mesmo que dizer que os vectores são linearmente dependentes.

Ver também

• Desigualdade triangular