Desigualdade de martingale de Doob

Na matemática, a desigualdade de martingale de Doob é um resultado no estudo dos processos estocásticos. Esta dá um limite sobre a probabilidade de que um processo estocástico exceda qualquer dado valor sobre um dado intervalo de tempo. Como o nome sugere, o resultado é geralmente dado no caso em que o processo é um martingale negativo, mas o resultado também é válido para submartingales não negativos.

A desigualdade recebe este nome em homenagem ao matemático norte-americano Joseph Leo Doob.[1]

Afirmação da desigualdade editar

Considere   um submartingale que assume valores reais não negativos, seja em tempo discreto, seja em tempo contínuo. Isto é, para todos os tempos   e   com  :

 

Para um submartingale de tempo contínuo, assume-se posteriormente que o processo é càdlàg. Então, para qualquer constante  ,

 

Acima, como é convencional,   denota a medida de probabilidade no espaço amostral   do processo estocástico:

 

e   denota o valor esperado com respeito à medida de probabilidade  , isto é, a integral

 

no sentido da integração de Lebesgue.   denota a sigma-álgebra gerada por todas as variáveis aleatórias   com  . A coleção de tais sigma-álgebras forma uma filtração do espaço de probabilidade.[2]

Desigualdades posteriores editar

Há desigualdades de (sub)martingale posteriores que também se devem a Doob. Com os mesmos pressupostos sobre   como acima, considere:

 

e, para  , considere:

 

Nesta notação, a desigualdade de Doob como afirmada acima lê:

 

As seguintes desigualdade também se aplicam: para  ,

 

e, para  ,

 [3]

Desigualdades relacionadas editar

A desigualdade de Doob para martingales de tempo discreto implica a desigualdade de Kolmogorov: se   for uma sequência de variáveis aleatórias independentes de valores reais, cada uma com média zero, fica claro que:

 

de modo que   é um martingale. Note que a desigualdade de Jensen implica que   é um submartingale não negativo se   for um martingale. Assim, assumindo   na desigualdade de martingale de Doob,

 

que é precisamente a afirmação da desigualdade de Kolmogorov.[3]

Aplicação no movimento browniano editar

Considere que   denota um movimento browniano unidimensional canônico. Então,

 

A prova é como segue: já que a função exponencial é monotonamente crescente, para qualquer   não negativo,

 

Pela desigualdade de Doob e, já que a exponencial do movimento browniano é um submartingale positivo,

 

Já que o lado esquerdo não depende de  , escolhe-se   para minimizar o lado direito.   dá a desigualdade desejada.[4]

Referências editar

  1. Doob, Joseph L. (2001). «Elements of Martingale Theory». Springer. Classics in Mathematics (em inglês): 432–462. ISBN 9783540412069. doi:10.1007/978-3-642-56573-1_22 
  2. Hazewinkel, Michiel (1994). «Martingale». Encyclopaedia of mathematics: an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Dordrecht: Reidel. ISBN 9781556080104. OCLC 16755499 
  3. a b Sun, Rongfeng. «Martingales» (PDF). National University of Singapore 
  4. Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Continuous martingales and Brownian motion 3 ed. Berlin: Springer. ISBN 3540643257. OCLC 40481166