Desigualdade do valor médio

A desigualdade do valor médio é um importante resultado da Análise Vetorial, pois dele seguem resultados muito relevantes, como, e.g., continuidade e diferenciabilidade de funções vetoriais, o Teorema de Schwarz, diferenciabilidade uniforme de funções de classe , fornecendo uma estimativa para a distância entre os valores das imagens de dois pontos em seu domínio.

EnunciadoEditar

Seja   uma função contínua definida em um aberto,   de  . Sejam   e   tal que  . Denotem-se por:

 

 

Se:

  é contínua em  

  é diferenciável em  

então vale:

 

ProvaEditar

Considere a função auxiliar  . Basta mostrarmos que:

 

Mostraremos que

 

Com efeito, considere o conjunto:

 

É fácil ver que  , pois obviamente  

Ademais,   é um intervalo, pois dado  , para qualquer   temos que:   ou seja,  

Ademais, pela continuidade de   pode-se verificar que   é fechado, i.e., que  

Afirmamos que  . Com efeito, suponha, ab absurdo que  . Então, para qualquer   dado acima existe um   tal que  . Ademais, como   é diferenciável em  , segue que tomando   suficientemente pequeno, vale:

 

com

 

  Como supusemos  , também temos:

 

Assim, tem-se que

 

de modo que  , o que é absurdo, pois  . Logo,  , e vale a desigualdade:

 

Assim,

 

e vale que:

  Q.E.D.

ReferênciasEditar