Desigualdade triangular

A desigualdade triangular tem origem na geometria euclidiana e refere-se ao teorema que afirma que, num triângulo, o comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos comprimentos dos outros dois lados. No texto clássico Os Elementos, de Euclides, este teorema é a Proposição 20 do Livro I. É nada mais que uma reformulação do conceito intuitivo de que é mais curto o caminho reto/recto entre A e B que o caminho de A até C somado ao de C até B.

Em qualquer triângulo, tem-se a<b+c, b<a+c e c<a+b.

A desigualdade triangular nos números reais

No conjunto dos números reais, chamamos de desigualdade triangular, em analogia ao caso da geometria plana a seguinte expressão envolvendo módulos:

$|u+v|\leq |u|+|v|$.

Que dá origem a outras desigualdades:

• $|u-v|\leq |u|+|v|$
• $|u|-|v|\leq |u-v|\,$
• ${\Big |}|u|-|v|{\Big |}\leq |u-v|\,$

Para a primeira, escreva $|u-v|=|u+(-v)|\leq |u|+|-v|=|u|+|v|$

Para a segunda, $|u|=|v+(u-v)|\leq |v|+|u-v|\,$

A terceira é consequência da segunda, trocando os papéis de u e v.

A desigualdade triangular em $\mathbb {R} ^{n}$

Teorema

Em $\mathbb {R} ^{n}$, quaisquer que sejam $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$, tem-se:

$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

Havendo igualdade se e só se $y=\alpha x$ com $|1+\alpha |=1+|\alpha |$ .

Note que $\alpha =0$ está incluído mas $\alpha \leq -1$ não.

Demonstração

Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, prova-se o teorema facilmente.

Tem-se (utilizando propriedades do produto interno):

$\|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle$ (I)

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada em (I):

$\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle \leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}$

Tendo em conta que a norma é um valor não-negativo, segue que:

$\|x+y\|^{2}\leq \left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}\Leftrightarrow \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ Q.E.D.

A segunda parte do teorema decorre diretamente da aplicação da desigualdade de Cauchy-Schwarz (atentar no segundo termo do lado direito da equação).

Desigualdade triangular para números complexos

Sejam X e Y dois números complexos, então:

• $|X+Y|\leq |X|+|Y|$
• $|X|-|Y|\leq |X-Y|$

Desigualdade triangular em espaço métrico

A desigualdade triangular é tão importante nos conceitos da análise matemática e topologia que se torna um axioma na definição de métrica, ou seja toda métrica d deve satisfazer:

$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\,$

Desigualdade triangular em espaço normado

A desigualdade triangular em espaços normados escreve-se da seguinte forma:

$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

E generaliza-se por indução matemática para:

$\left\|\sum _{n=1}^{N}x_{n}\right\|\leq \sum _{n=1}^{N}\|x_{n}\|$

E também para séries infinitas:

$\left\|\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}\right\|\leq \sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|$

Desigualdade triangular para integrais

A seguinte desigualdade é valida para qualquer função real $f(x)\,$ integrável.

$\left|\int _{V}f(x)dx\right|\leq \int _{V}|f(x)|dx$

Ver também

• SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010.