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Em qualquer triângulo, tem-se a<b+c, b<a+c e c<a+b.

A desigualdade triangular tem origem na geometria euclidiana e refere-se ao teorema que afirma que, num triângulo, o comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos comprimentos dos outros dois lados. No texto clássico Os Elementos, de Euclides, este teorema é a Proposição 20 do Livro I.[1] É nada mais que uma reformulação do conceito intuitivo de que é mais curto o caminho reto/recto entre A e B que o caminho de A até C somado ao de C até B.

A desigualdade triangular nos números reaisEditar

No conjunto dos números reais, chamamos de desigualdade triangular, em analogia ao caso da geometria plana a seguinte expressão envolvendo módulos:

 .

Que dá origem a outras desigualdades:

  •  
  •  
  •  

Para a primeira, escreva  

Para a segunda,  

A terceira é consequência da segunda, trocando os papéis de u e v.

A desigualdade triangular em Editar

TeoremaEditar

Em  , quaisquer que sejam  , tem-se[2]:

 

Havendo igualdade se e só se   com   .

Note que   está incluído mas   não.

DemonstraçãoEditar

Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, prova-se o teorema facilmente[2].

Tem-se (utilizando propriedades do produto interno):

  (I)

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada em (I):

 

Tendo em conta que a norma é um valor não-negativo, segue que:

  Q.E.D.

A segunda parte do teorema decorre diretamente da aplicação da desigualdade de Cauchy-Schwarz (atentar no segundo termo do lado direito da equação).

Desigualdade triangular para números complexosEditar

Sejam X e Y dois números complexos, então:

  •  
  •  

Desigualdade triangular em espaço métricoEditar

A desigualdade triangular é tão importante nos conceitos da análise matemática e topologia que se torna um axioma na definição de métrica, ou seja toda métrica d deve satisfazer:

 

Desigualdade triangular em espaço normadoEditar

A desigualdade triangular em espaços normados escreve-se da seguinte forma:

 

E generaliza-se por indução matemática para:

 

E também para séries infinitas:

 

Desigualdade triangular para integraisEditar

A seguinte desigualdade é valida para qualquer função real   integrável.

 

Ver tambémEditar

  • SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010.

Referências

  1. Euclides, Os Elementos, Livro I, Proposição 20 [em linha]
  2. a b QUEIRÓ, J. F.; SANTANA, A. P. (2010). Introdução à Álgebra Linear (1.ª edição). Gradiva ISBN 978-989-636-372-3. Páginas 149 e 150.
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