Diferença simétrica

Em matemática, a diferença simétrica de dois conjuntos é o conjunto de elementos que estão em um dos conjuntos, e não em sua interseção. A diferença simétrica dos conjuntos A e B é comumente denotada por

Diagrama de Venn de
A diferença simétrica é
a união tirando a interseção:
Venn0111.svg Venn0001.svg Venn0110.svg

ou

ou

Por exemplo, a diferença simétrica dos conjuntos e é .

O conjunto das partes de qualquer conjunto torna-se um grupo abeliano sob a operação de diferença simétrica, sendo o conjunto vazio como o elemento neutro do grupo e cada elemento deste grupo o seu próprio inverso. O conjunto das partes de qualquer conjunto se torna um anel booleano usando a diferença simétrica como a adição do anel e intersecção como a multiplicação do anel.

PropriedadesEditar

 
Diagrama de Venn de            

A diferença simétrica é equivalente à união de ambas as diferenças, que é:

 

A diferença simétrica também pode ser expressa usando a operação XOR, ⊕, sobre os predicados que descrevem os dois conjuntos da seguinte forma:

 

A diferença simétrica também pode ser expressa como a união de dois conjuntos, menos a sua interseção:

 

Em particular,  ; a igualdade na inclusão não-estrita ocorre se, e somente se,   e   são conjuntos disjuntos. Além disso, se denotamos   e  , então   e   sempre são disjuntos, e portanto   e   formam uma partição de  . Consequentemente, assumindo interseção e diferença simétrica como operações primitivas, a união de dois conjuntos pode ser bem definido em termos de diferença simétrica pelo lado direito da igualdade

 .

A diferença simétrica é comutativa e associativa (e, consequentemente, o conjunto de parênteses na expressão anterior foi, portanto, desnecessário):

 
 

O conjunto vazio é neutro, e cada conjunto é o seu próprio inverso:

 
 

A intersecção é distributiva em relação à diferença simétrica:

 

e isso mostra que o conjunto de potência de X torna-se um anel com diferença simétrica como a adição e a intersecção de multiplicação. Este é um exemplo de um anel booleano.

Mais propriedades da diferença simétrica:

  •  , tal que  ,  são os complementares de   , respectivamente, relativo a qualquer conjunto fixo que contenha ambos os conjuntos.
  •  , se   é um conjunto de índices arbitrário porém não vazio 
  • Se   é qualquer função e   são conjuntos em codomínios de   .

A diferença simétrica pode ser definida em qualquer álgebra Booleana da seguinte maneira:

 

Esta operação tem as mesmas propriedades que a diferença simétrica de conjuntos.

Diferença simétrica em espaços de medidaEditar

Enquanto houver uma noção de "quão grande " é um conjunto, a diferença simétrica entre dois conjuntos pode ser considerada uma medida de quão "longe" eles estão. Primeiro, considere um conjunto finito S e a medida de contagem em subconjuntos dada pelo seu tamanho. Agora, considere dois subconjuntos de S e defina distância como o tamanho da sua diferença simétrica. Esta distância é, na verdade, uma métrica de modo que o conjunto das partes de S é um espaço métrico. Se S tem n elementos, então a distância a partir do conjunto vazio de S é n, e este é o máximo de distância, para qualquer par de subconjuntos.[1]

Usando as ideias da teoria da medida, a separação de conjuntos mensuráveis pode ser definida como a medida de sua diferença simétrica. Se μ é uma medida σ-finita definida em uma σ-algebra Σ, a função

 

é uma pseudométrica em Σ. dμ torna-se uma métrica se Σ é considerada módulo da relação de equivalência X ~Y se, e somente se,  . O espação métrico resultante é separável se e somente se L2(μ) é separável.

Se  , temos:  . De fato,

 

Seja   um espaço de medida e sejam   e  .

A diferença simétrica é mensurável:  .

Podemos escrever   se, e somente se  . A relação " " é uma relação de equivalência em a conjuntos  -mensuráveis.

Podemos escrever   se, e somente se, para cada   existir algum   de tal forma que  . A relação " " é uma ordem parcial sobre a família de subconjuntos de  .

Podemos escrever   se, e somente se,   e  . A relação " " é uma relação de equivalência entre os subconjuntos de  .

O "fecho simétrico" de   é o conjunto de todos os conjuntos  -mensuráveis que são   para algum  . O fecho simétrico de   contém  . Se   é um sub- -álgebra de  , o fecho simétrico em questão também será.

Distância de Hausdorff vs. Diferença SimétricaEditar

 
Duas sequências de formatos ilustrando as diferenças entre a distância de Hausdorff e a diferença simétrica.

A distância de Hausdorff e a (área da) diferença simétrica são ambos pseudométricas sobre o conjunto formas geométricas mensuráveis. No entanto, eles se comportam de forma bastante diferente. A figura ao lado mostra duas sequências de formas, "Vermelho" e "Vermelho ∪ Verde". Quando a distância de Hausdorff entre eles torna-se menor, a área da diferença simétrica entre eles torna-se maior, e vice-versa. Continuando estas sequências em ambas as direções, é possível obter duas seqüências tais que a distância de Hausdorff entre eles irá convergir para 0 e a distância simétrica irá divergir, ou vice-versa.

Veja tambémEditar

ReferênciasEditar

  1. Claude Flament (1963) Aplicações da Teoria dos grafos para a Estrutura do Grupo, página 16, Prentice-Hall MR 0157785