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Diferenciação de funções trigonométricas

A diferenciação de funções trigonométricas é o processo matemático de encontrar a taxa na qual a função trigonométrica varia em relação a uma variável, isto é, a derivada da função trigonométrica. Funções comuns incluen sin(x), cos(x) e tan(x). Por exemplo, na diferenciação de f(x) = sin(x), calculamos a função f ′(x), que é a taxa de variação de sin(x) num certo ponto a. O valor da taxa de variação em a é portando dada por f ′(a).

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Diferenciação trigonométrica


Função Derivada

Para calcular as derivadas de funções trigonométricas, é necessário ter conhecimento básico de diferenciação, além de conhecimento no uso de identidades trigonométricas e limites. Todas funções envolvem a variável arbitrária x, com todas diferenciações realizadas em relação a x.

Ao encontrarmos as derivadas das funções sin(x) e cos(x), podemos calcular as derivadas das outras funções trigonométricas com facilidade, devido ao fato delas poderem ser expressas em termos de seno e cosseno; a regra do quociente é utilizada para o cálculo de tais derivadas. As provas das derivadas das funções sin(x) e cos(x) são dadas na seção de provas. Encontrar as derivadas de funções trigonométricas inversas envolve diferenciação implícita e as derivadas das funções trigonométricas regulares, que são dadas na seção de provas.

Derivadas das funções trigonométricas e suas inversasEditar

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Provas das derivadas das funções seno e cosenoEditar

Limite de sin(θ)/θ para θ → 1Editar

Considere a circunferência unitária exibida na imagem. Assuma que o ângulo θ, feito pelos raios OB e OC seja pequeno, e.g. menor que π/2 radianos, i.e. 90°. Seja T1 o triângulo com vértices O, B e C. Seja S o setor circular dado pelos raios OB e OC (i.e. a "fatia" dada cortando-se ao longo das retas OB e OC). Seja T2 o triângulo com vértices O, B e D. Claramente, a área de T1 é menor que a área de S, que por sua vez é menor que a área de T2, i.e. área(T1) < área(S) < área(T2). A área do triângulo é dada pela metade do produto entre sua base e sua altura. Usando u para denotar a unidade de medida utilizada, encontramos que a área de T1 é exatamente 12 × ||OB|| × ||CA|| = 12 × 1 × sin(θ) = 12·sin(θu2. A área do setor circular S é exatamente 12·θ u2. Finalmente, a área do triângulo T2 é exatamente 12 × ||OB|| × ||BD|| = 12·tan(θu2.

Como área(T1) < área(S) < área(T2) encontramos que, para um θ pequeno,

 

(Lembre-se que tan(θ) = sin(θ)/cos(θ).) Se isto é verdade, então multiplicando por 2 temos sin(θ) < θ < tan(θ). Invertendo os termos, também invertemos as desigualdades, e.g. 2 < 3 enquanto 12 > 13. Segue-se que

 

Como θ é pequeno, e portanto menor que π/2 radianos, i.e. 90°, segue-se que sin(θ) > 0. Podemos multiplicar ambos lados por sin(θ), que é positivo, sem alterar a desigualdade; portanto:

 

Isto nos diz que para um θ muito pequeno, sin(θ)/θ é menor que um, mas maior que cos(θ). Porém, com θ diminuindo, cos(θ) cresce e se aproxima de 1 (see the cosine graph). A desigualdade nos diz que sin(θ)/θ é sempre menor que 1 e maior que cos(θ); mas conforme 'θ diminui, cos(θ) se aproxima de 1. Portanto, sin(θ)/θ é "esmagado" (ver teorema do confronto por 1 e cos(θ) quando θ decresce. Isto faz com que sin(θ)/θ se aproxime a 1.

Limite de [cos(θ) – 1]/θ para θ → 0Editar

Esta última seção nos permite calcular este novo limite com facilidade. Sabemos que

 

A identidade sin2θ + cos2θ = 1 nos diz que cos2θ – 1 = –sin2θ. Usando isto, o fato de o limite do produto ser o produto do limite, e o resultado da última seção, encontramos

 

Derivada da função senoEditar

Para calcular a derivada da função seno, sin(θ), usamos princípios básicos de derivação. Por definição:

 

Usando a conhecida fórmula sin(α+β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α) e os limites calculados acima, encontramos que

 

Derivada da função cosenoEditar

Para calcular a derivada da função cosseno, cos(θ) usamos princípios básicos de diferenciação. Por definição:

 

Usando a conhecida fórmula cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β) e os dois limites calculados acima, encontramos que

 

Provas das derivadas das funções trigonométricas inversasEditar

Nas provas abaixo, igualamos y a função trigonométrica inversa que queremos derivar. Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx, a derivada da função inversa é encontrada em termos de y. Para converter dy/dx de volta em termos de x, podemos desenhar um triângulo de referência na circunferência unitária, igualando θ a y. Usando o teorema de Pitágoras e as definições das funções básicas trigonométricas, podemos finalmente expressar dy/dx em termos de x.

Diferenciando a inversa da função senoEditar

Fazemos

 

Onde

 

Então

 

Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:

 
 

Substituindo   acima,

 

Substituindo   acima,

 
 

Diferenciando a inversa da função cossenoEditar

Fazemos

 

Onde

 

Então

 

Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:

 
 

Substituindo   acima, temos

 

Substituindo   acima, temos

 
 

Diferenciando a função tangente inversaEditar

Fazemos

 

Onde

 

Então

 

Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:

 
 

Derivando e substituindo em   dada a expressão acima,

 

Substituindo   acima,

 
 


Ver tambémEditar

BibliografiaEditar