Distribuição de Poisson

distribuição de probabilidades discreta

Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que expressa a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço se esses eventos ocorrerem com uma taxa média constante conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.[1]

Função de probabilidade da distribuição de Poisson para vários valores de λ.

A distribuição foi descoberta por Siméon Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Pesquisa sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas de um certo fenômeno durante um intervalo de tempo de determinada duração. A probabilidade de que existam exactamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2, ...) é

onde

  • e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...),
  • k! é o fatorial de k,
  • λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaríamos como modelo a distribuição de Poisson com λ=10/4= 2.5.

Como função de k, esta é a função de probabilidade. A distribuição de Poisson pode ser derivada como um caso limite da distribuição binomial.

Processo de Poisson editar

 Ver artigo principal: Processo de Poisson

A distribuição de Poisson aparece em vários problemas físicos, com a seguinte formulação: considerando uma data inicial (t = 0), seja N(t) o número de eventos que ocorrem até uma certa data t. Por exemplo, N(t) pode ser um modelo para o número de impactos de asteroides maiores que um certo tamanho desde uma certa data de referência.

Uma aproximação que pode ser considerada é que a probabilidade de acontecer um evento em qualquer intervalo não depende (no sentido de independência estatística) da probabilidade de acontecer em qualquer outro intervalo disjunto.

Neste caso, a solução para o problema é o processo estocástico chamado de Processo de Poisson, para o qual vale:

 

em que λ é uma constante (de unidade inversa da unidade do tempo)[carece de fontes?].

Ou seja, o número de eventos até uma época qualquer t é uma distribuição de Poisson com parâmetro λ t.

Propriedades editar

Média editar

O valor esperado de uma distribuição de Poisson é igual a λ. Esta propriedade pode ser derivada facilmente[2]:


Em linguagem matemática Em Português
  Por definição, a esperança de uma variável aleatória X é igual à soma de cada uma das suas possíveis ocorrências ponderadas pela probabilidade de que estas ocorrências aconteçam.
  No caso de variáveis com distribuição, a probabilidade de que determinado evento ocorra é calculado por : . Portanto, este valor foi substituído na fórmula.
  Esta expressão equivale à expressão da linha imediatamente superior; apenas se substituiu a expressão de somatório pela soma infinita para melhor compreensão. Note que como o primeiro termo é sempre igual a zero, podemos reescrever  
Como   Fazemos uma substituição para facilitar o cálculo.
  Tomamos a substituição acima e tiramos a constante   para fora do somatório (pois o primeiro termo da expressão imediatamente superior é igual à  .
  Nova transformação para facilitar os cálculos...
    Abrindo o somatório, verifica-se que a série converge para  
  Obtemos  
  Como queríamos demonstrar

Variância ( ,   ou  ) editar

A variância de uma distribuição de Poisson é igual a  , como podemos demonstrar.

Sabendo que   e  

Calculamos o segundo momento  , para uma variável aleatória discreta:

  Expandindo o somatório

  Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais

  Colocando   e   em evidência

 

  fazendo   e  

 

 

  Série de Taylor Função Exponencial   converge para  

  Expandindo o somatório

  Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais

  Colocando   em evidência

 

  fazendo  

  Série de Taylor Função Exponencial   converge para  

 

 

 

Substituindo   e   em  

 

 

Soma de variáveis editar

A soma de duas variáveis de Poisson independentes é ainda uma variável de Poisson com parâmetro igual à soma dos respectivos parâmetros. Ou seja, se   segue uma distribuição de Poisson com parâmetro   e as variáveis aleatórias   são estatisticamente independentes, então

  também segue uma distribuição de Poisson cujo parâmetro é igual à soma dos  .

Por exemplo,   é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "A" (distribuição de Poisson com média 1,2, digamos) e   é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "B" (variável de Poisson com média 3). Ao todo, o número de óbitos por mil nascimentos nas cidades "A" e "B" têm distribuição de Poisson com média  .

Intervalo de confiança editar

Um método rápido e fácil para calcular um intervalo de confiança de aproximada de λ, é proposto na Guerriero (2012).[3] Dado um conjunto de eventos k (pelo menos 15 - 20) ao longo de um período de tempo T, os limites do intervalo confiança para a frequência são dadas por:

 
 

em seguida, os limites do parâmetro   são dadas por:  .


Exemplos editar

A distribuição de Poisson representa um modelo probabilístico adequado para o estudo de um grande número de fenômenos observáveis. Eis alguns exemplos:

  • Chamadas telefônicas por unidade de tempo;
  • Defeitos por unidade de área;
  • Acidentes por unidade de tempo;
  • Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo;
  • Número de glóbulos visíveis ao microscópio por unidade de área;
  • Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade de tempo.

Ligações externas editar

Referências editar

  1. Haight, Frank A. (1967). Handbook of the Poisson Distribution. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-33932-8 
  2. Sayan Mukherjee. Lecture 6.5.- Poisson processes. In: PROBABILITY AND STATISTICS IN ENGINEERING. http://www.isds.duke.edu/courses/Fall06/sta113/poisson.pdf
  3. V, Guerriero (2012). «Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics». J. Mod. Math. Fr 


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