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Distribuição de probabilidade condicional

Uma distribuição de probabilidade conjunta com os valores observados.

Na teoria da probabilidade e estatística, dadas duas variáveis aleatórias e distribuídas conjuntamente, a distribuição de probabilidade condicional de dado é a distribuição de probabilidade de quando é um determinado valor conhecido. Em alguns casos, as probabilidades condicionais podem ser expressas como funções contendo um valor não especificado de como um parâmetro. No caso em que ambos e são variáveis categóricas, uma tabela de probabilidade condicional é normalmente usada para representar a probabilidade condicional. A distribuição condicional contrasta com a distribuição marginal de uma variável aleatória, que é a distribuição sem referência para o valor da outra variável.

Se a distribuição condicional de dado é uma distribuição contínua, então a sua função densidade de probabilidade é conhecida como a função densidade condicional. As propriedades de uma distribuição condicional, tal como o momento, são muitas vezes chamadas por nomes correspondentes, tais como média condicional e variância condicional.

Geralmente, pode-se referir a distribuição condicional de um subconjunto de um conjunto de mais de duas variáveis; esta distribuição condicional é contingente sobre os valores de todas as variáveis restantes, e se mais do que uma variável é incluída no subconjunto então esta distribuição condicional é a distribuição conjunta condicional das variáveis.

Distribuições discretasEditar

Para variáveis aleatórias discretas, a função massa de probabilidade condicional de   dada a ocorrência do valor   de   pode ser escrita de acordo com a sua definição como:

 .

Devido à ocorrência de   em um denominador, isto é definido apenas para não-nulos (portanto, estritamente positivos)  .[1]

A relação com a distribuição de probabilidade de   dado   é:

 .

Distribuições contínuasEditar

Da mesma forma, para variáveis aleatórias contínuas, a função de densidade de probabilidade condicional de   dada a ocorrência do valor   de   pode ser escrita como

 ,

onde   dá a densidade conjunta de   e  , enquanto que   dá a densidade marginal de  . Também neste caso é necessário que  .

A relação com a distribuição de probabilidade de   dado   é dada por:

 .[2]

O conceito de uma distribuição condicional de uma variável aleatória contínua não é tão intuitivo quanto parece: o paradoxo de Borel mostra que funções densidade de probabilidade condicionais não precisam ser invariantes sob transformações de coordenadas.

Relação com a independênciaEditar

As variáveis aleatórias  ,   são independentes se e somente se a distribuição condicional de   dado   é, para todos os valores possíveis de  , igual à distribuição não condicional de  . Para variáveis aleatórias discretas isto significa que   para todos os   e  . Para variáveis aleatórias contínuas   e  , tendo uma função de densidade conjunta, isso significa que   para todos os   e  .

PropriedadesEditar

Visto como uma função de   para um dado  ,   é uma probabilidade e, portanto, a soma de todos os   (ou a integral, se é uma densidade de probabilidade condicional) é igual a 1. Visto como uma função de   dado   é uma função de verossimilhança, de modo que a soma de todos os   não precisa ser 1.

Formulação teóricaEditar

Seja   um espaço de probabilidade,   um campo-  em  , e   uma variável aleatória de valor real (mensurável a respeito do campo-  de Borel   em  ). Pode se mostrar que existe uma função   tal que   é a medida de probabilidade em   para cada   (isto é, é regular) e   (quase certamente) para todo  . Para qualquer  , a função   é chamada de distribuição de probabilidade condicional de   dado  . Neste caso,

 

quase certamente.[3]

Relação com a expectativa condicionalEditar

Para qualquer evento  , definindo a função indicadora:

 

que é uma variável aleatória. Observe que a expectativa dessa variável aleatória é igual à probabilidade de   em si:

 .

Então, a probabilidade condicional dado   é uma função   de tal forma que   é a expectativa condicional da função indicadora para  :

 

Em outras palavras,   é uma função  -mensurável que satisfaz

 .

A probabilidade condicional é regular se   é também uma medida da probabilidade para todo  . Uma expectativa de uma variável aleatória em relação a uma probabilidade condicional regular é igual a sua expectativa condicional.

  • Para o sigma-álgebra trivial   a probabilidade condicional é uma função constante,  .
  • Para  , como descrito acima,  .

Veja tambémEditar

Referências

  1. Liberal, Tarciana. Distribuições Condicionais. Curso de Probabilidade II, Aula 11, Departamento de Estatística da UFPB.
  2. Wooldridge, Jeffrey M. Introdução À Econometria - Uma Abordagem Moderna (PDF) 4ª ed. [S.l.]: Thomson 
  3. Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure 3rd ed. New York: John Wiley and Sons