Divisão por zero

Na matemática, uma divisão é chamada divisão por zero se o divisor é zero. Tal divisão pode ser formalmente expressada como a ÷ 0 = no qual a é o dividendo. Um valor bem definido para essa expressão depende do contexto matemático. Para a aritmética com números reais, a expressão não possui significado.

A função y=1/x. Ao mesmo tempo em que x se aproxima de 0 da direita, y se aproxima do infinito (e vice-versa). Observar que dependendo de que lado percorre-se x, o limite é infinito positivo (vindo da direita) ou infinito negativo (vindo da esquerda).

Em programação, uma tentativa de dividir um número de ponto flutuante por zero deve resultar em infinito () de acordo com o padrão IEEE 754 para pontos flutuantes. No entanto, dependendo do ambiente de programação e do tipo de número sendo dividido por zero (como o inteiro, por exemplo), é possível que: seja gerada uma exceção, seja produzida uma mensagem de erro, faça o programa terminar, resulte em infinito positivo ou negativo ou resulte em um valor especial não numérico (NaN).

Interpretação em aritmética elementarEditar

Quando uma divisão é explicada no nível elementar, frequentemente usa-se a descrição da divisão de um conjunto de objetos em partes iguais. Como exemplo, se tem-se dez maçãs, e deseja-se distribuí-las entre cinco pessoas, cada pessoa irá receber 10 ÷ 5 =   = 2 maçãs. Se tem-se dez maçãs e deseja-se distribuir entre zero pessoas, quantas maçãs cada pessoa receberá? Uma tentativa para calcular 10 ÷ 0 =   =   maçãs.

Primeiras tentativasEditar

Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta (598668) é o primeiro texto conhecido a tratar o zero como um número e a definir operações envolvendo o zero. O autor falhou, entretanto, em sua tentativa a explicar a divisão por zero: sua definição pode ser facilmente provada a levar a absurdos algébricos. De acordo com Brahmagupta, "um número positivo ou negativo, quando divido por zero, é uma fração com o zero como denominador. O zero dividido por um número positivo ou negativo é tanto zero ou expresso como uma fração com zero como numerador. Zero dividido por zero é zero."

Em 830, Mahavira tentou sem sucesso corrigir a falha de Brahmagupta em seu livro Ganita Sara Samgraha: "um número permanece inalterado quando dividido por zero."

Bhaskara II tentou resolver o problema ao definir:

n ÷ 0 =  

(-n) ÷ 0 =  

Essa definição, apesar de fazer sentido, pode levar a paradoxos se não tratadas com cuidado.[1]

Interpretação algébricaEditar

É geralmente considerado entre matemáticos que uma maneira natural de interpretar a divisão por zero é primeiramente definir a divisão em termos de outras operações aritméticas. Nas regras padrão da aritmética de inteiros, racionais, reais e complexos, a divisão por zero pode resultar em infinito quando o dividendo é número positivo, resultar em infinito negativo quando o dividendo é número negativo e resultar em indeterminação quando o dividendo é zero.

FaláciasEditar

É possível distinguir um caso especial da divisão por zero em um argumento algébrico, levando a provas inválidas tais como 2 = 1 como a seguinte:

Assume-se:

 
 

O seguinte deve ser verdadeiro:

 

Dividindo por zero temos:

 

Simplificando, resulta-se em :

 

A falácia é assumir que dividir por zero é uma operação legítima com  . Apesar da maioria das pessoas provavelmente assumirem que a prova acima é falaciosa, o mesmo argumento pode ser apresentado de uma forma que torna-se mais difícil encontrar o erro. Por exemplo, se 1 é denotado por  ,   pode ser escondido em   e   escondido em  . A prova acima pode ser apresentada como:

  X  
  X  

Então:

  X   X  

Dividindo por   temos:

 

E dividindo por   temos:

 

Contra argumentação da prova:

Cria-se paradoxo quando se atribui várias igualdades simultâneas a uma equação.

  X  
  X  
 

Fazendo o cálculo de forma individual não se percebe erro lógico ao afirmar que todo número que seja dividido por si resulte em 1, inclusive zero.

Subtrações sucessivasEditar

Toda divisão pode ser interpretada como uma sequência finita de subtrações. E, utilizando o método de subtrações sucessivas, pode-se provar que a divisão por zero é dependendo do dividendo pode ser infinito (se o dividendo for número positivo), infinito negativo (se o dividendo for número negativo) ou indeterminado (se o dividendo for zero). Esta operação peculiar gera uma sequência infinita de subtrações, isto é, obriga a efetuar infinitas repetições (mais conhecidas na área computacional como laços / loops infinitos).

Passo-a-passoEditar

  1. Subtrair o dividendo pelo divisor;
  2. Caso o quociente obtido seja maior ou igual ao divisor, subtrair o quociente obtido pelo divisor;
  3. Repetir o segundo passo até que o quociente obtido seja menor que o divisor, encerrando o processo e tornando o atual quociente em resto.

Divisão de 15 por 3 (exemplo)Editar

  • 15 - 3 = 12 (1a subtração)
  • 12 - 3 = 9 (2a subtração)
  • 9 - 3 = 6 (3a subtração)
  • 6 - 3 = 3 (4a subtração)
  • 3 - 3 = 0 (5a subtração)

Como a subtração foi realizada sucessivamente 5 vezes, a divisão de 15 por 3 resulta em 5 com resto 0.

Divisão de 39 por 11 (exemplo)Editar

  • 39 - 11 = 28 (1a subtração)
  • 28 - 11 = 17 (2a subtração)
  • 17 - 11 = 6 (3a subtração)

Como a subtração foi realizada sucessivamente 3 vezes, a divisão de 39 por 11 resulta em 3 com resto 6.

Divisão de 1 por 0 (exemplo)Editar

  • 1 - 0 = 1 (1a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (2a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (3a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (4a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (5a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (6a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (7a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (8a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (9a subtração)
  • ...

Como a subtração foi realizada sucessivamente   vezes, a divisão de 1 por 0 resulta em  .

Divisão de 0 por 0 (exemplo)Editar

  • 0 - 0 = 0 (1a subtração)
  • 0 - 0 = 0 (2a subtração)
  • 0 - 0 = 0 (3a subtração)
  • ...

As subtrações continuam infinitamente, porque o critério de encerramento ("até que o quociente obtido seja menor que o divisor") nunca é atingido. O quociente será sempre 0, ou seja, sempre igual ao divisor (0) e nunca menor. Portanto a divisão de 0 por 0 resulta em indeterminação.

Três possíveis situaçõesEditar

número positivo dividido por zeroEditar

  •   ÷   =  

Qualquer número positivo dividido por zero resulta em infinito.

número negativo dividido por zeroEditar

  •   ÷   =  

Qualquer número negativo dividido por zero resulta em infinito negativo (ou menos infinito).

Zero dividido por zeroEditar

  •   ÷   = indeterminado

Zero dividido por zero é uma indeterminação pois, qualquer número inteiro, natural, positivo, negativo, decimal, fracionário, real, racional, irracional, imaginário, complexo, infinito e infinito negativo servem como resultado e não é determinado qual desses números pode ser o único resultado para essa divisão, por isso chega à conclusão que zero dividido por zero é uma indeterminação.

Ver tambémEditar

Referências

  1. «Zero». Consultado em 11 de agosto de 2007. Arquivado do original em 4 de dezembro de 2008