e (constante matemática)

Disambig grey.svg Nota: Se procura constante de Euler, veja constante de Euler.

O número e é uma constante matemática que é a base dos logaritmos naturais. Por vezes é chamado número de Euler (não confundir com a constante de Euler) em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, número de Napier, em homenagem a John Napier, número de Neper[1], constante de Néper, número neperiano, número exponencial e outros. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

Gráfico da equação Aqui, e é o número único maior que 1 que faz a área à sombra ser igual a 1.

para , ou seja:

ou ainda, substituindo-se n por

Cujo valor é aproximadamente 2,718281828459045235360287.

Caracterizações menos triviaisEditar

Alternativamente à representação mais conhecida, temos também:  

O número   pode ser representado e calculado por meio da utilização da série de Taylor para   quando x=1, como a soma da seguinte série infinita:

 

Aqui n! representa o fatorial de n.

A função   (função exponencial de base  ) pode ser representada da seguinte forma:

 ,  

assim, por exemplo, tem-se :

  ou ainda
 

Outra maneira de se encontrar o valor de   é pelo desenvolvimento da fração contínua, escrito sob a forma interessante:

 

Ou, de forma mais simplificada (sequência A003417 na OEIS):

 

que pode ser escrita mais harmoniosamente com a utilização do zero:

 

Muitas outras séries, seqüências, frações contínuas e produtos infinitos que representam   já foram desenvolvidas.

O Número no CálculoEditar

A função exponencial   tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:

 

Isto significa que   tem a notável propriedade de que a taxa de variação de   no ponto x = t vale  . Daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural. Além desta, pela regra da multiplicação por constante, as funções  ,   também são suas próprias derivadas.

Trabalhando com integrais, pode-se ainda definir   como sendo o único número maior que zero tal que:

 

Mais Sobre Editar

O número   é um número irracional e transcendente (como pi). A irracionalidade de   foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de   foi estabelecida por Hermite em 1873.

Conjecturou-se que   é um número normal ou aleatório.

Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler, considerada a expressão mais "bela" da matemática:

 

Obtém-se tal relação por meio da fórmula:

 

que, por sua vez, advém da série de Taylor para  .

Leonhard Euler começou a usar a letra   para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de   foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque   é a primeira letra da palavra exponencial.

Outra aparição do número de Euler é na probabilidade: caso se escolham números entre   e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a  .

como séries infinitasEditar

Dentre as várias séries infinitas que resultam em  , têm-se, além da trivial:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

como limites e produtos infinitosEditar

Os produtos infinitos

 

e

 

Em que o n-ésimo fator corresponde à raiz do produto

 

resultam no número de Euler, assim como os seguintes limites:

 
 
 

com os primeiros 510 dígitos decimaisEditar

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar

Referências

  1. Infopédia. «número de Neper - Infopédia». Infopédia - Dicionários Porto Editora. Consultado em 17 de junho de 2020