e (constante matemática)

 Nota: Não confundir com a constante de Euler. Para outros sentidos de e, veja e (desambiguação).

O número e é uma constante matemática, aproximadamente igual a 2,71828, que é a base dos logaritmos naturais.

Gráfico da equação y = 1/x. Aqui, e é o número único maior que 1 que faz a área sob a curva ser igual a 1

O número e também é chamado de número de Euler (não confundir com a constante de Euler $\gamma$) — nomeado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler — ou constante de Neper — em homenagem a John Napier. A constante foi descoberta pelo matemático suíço Jacob Bernoulli enquanto estudava juros compostos.

O número e é de grande importância na matemática, junto de 0, 1, π, e i. Todos os cinco aparecem numa formulação da identidade de Euler $e^{i\pi }+1=0$ e têm papéis importantes e recorrentes na matemática. Semelhante à constante π, e é irracional (não pode ser representado como uma razão de dois inteiros) e transcendente (não é uma raiz de nenhuma função polinomial com coeficientes racionais). Com 50 casas após a vírgula, o valor de e é:

2,71828182845904523536028747135266249775724709369995...

Definições

O número e pode ser calculado como o limite de (1 + 1/n)ⁿ quando n se aproxima de infinito, uma expressão que provem da computação dos juros compostos. Também pode ser calculado como soma da série infinita

$$e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots$$

Ele também é o único número positivo a tal que o gráfico da função y = a^x tem um declive de 1 quando x = 0.

A função exponencial (natural) f(x) = e^x é a única função f que é igual a sua própria derivada e satisfaz a equação f (0) = 1; portanto, e também pode ser definido como f(1). O logaritmo natural, ou logaritmo de base e, é a função inversa da função exponencial natural. O logaritmo natural para um número natural k > 1 pode ser definido diretamente como a área sob a curva y = 1/x entre x = 1 e x = k, neste caso, e é o valor de k para o qual esta área é igual a 1 (ver imagem). Há várias outras caracterizações.

História

A primeira referência à constante foi publicado em 1618 numa tabela de apêndice de um trabalho de logaritmos por John Napier. No entanto, esta obra não continha a constante em si, mas simplesmente uma lista de logaritmos na base e. Assume-se que a tabela foi escrita por William Oughtred.

A constante em si foi introduzida por Jacob Bernoulli em 1683, para resolver problemas de juros continuamente compostos. Em sua solução, a constante e ocorre como o limite de

$$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$$

em que e representa o número de intervalos em um ano em que o juros compostos é calculado (por exemplo, n = 12 para juros compostos mensalmente).

O primeiro símbolo utilizado para esta constante foi a letra b por Gottfried Leibniz em cartas a Christiaan Huygens em 1690 e 1691.

Leonhard Euler começou a utilizar a letra e para a constante em 1737 ou 1728, num artigo não publicado dobre forças explosivas em canhões, em 25 de novembro de 1731. A primeira aparição de e em uma publicação impressa foi em Mechanica de Euler (1736). É desconhecido o motivo por que Euler escolheu a letra e. Apesar de que alguns pesquisadores usaram a letra c nos anos subsequentes, a letra e era mais comum e eventualmente tornou-se o padrão.

Euler provou que e é a soma da série infinita

$$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,$$

em que n! é o fatorial de n. A equivalência das duas caracterizações usando o limite e a série infinita podem ser provados usando o binômio de Newton.

Aplicações

Juros compostos

O efeito de ganhar 20% de juros anuais num investimento inicial de mil dólares a várias frequências compostas. A curva limite no topo é o gráfico y = 1000e^0,2t, em que y está em dólares, t em anos, e 0,2 = 20%

Jacob Bernoulli descobriu esta constante em 1683, enquanto estudava uma questão sobre juros compostos:

Uma conta começa com $ 1,00 e paga 100% de juros ao ano. Se os juros forem creditados uma vez, no final do ano, o valor da conta no final do ano será de $ 2,00. O que acontece se os juros forem calculados e creditados com mais frequência durante o ano?

Se os juros forem creditados duas vezes ao ano, os juros a cada seis meses será de 50%, então o um dólar inicial será multiplicado por 1,5 duas vezes, rendendo $ 1,00 × 1,5² = $ 2,25 no fim do ano. Se for rendimentos trimestrais, renderá $ 1,00 × 1,25⁴ = $ 2,44140625, e mensalmente será $ 1,00 × (1 + 1/12)¹² = $ 2,613035... Se há n intervalos compostos, os juros de cada intervalo será 100%/n e o valor no fim do ano será $ 1,00 × (1 + 1/n)ⁿ.

Bernoulli observou que essa sequência se aproxima de um limite com n maior e, assim, intervalos de rendimento menores. Com rendimento semanal (n = 52), o valor atinge $ 2,692596..., enquanto com rendimento diário (n = 365) atinge $ 2,714567... (aproximadamente dois centavos a mais). O limite à medida que n cresce é o número que ficou conhecido como e. Ou seja, com rendimentos contínuos, o valor da conta atingirá $ 2,718281828... De maneira mais geral, uma conta que começa com um dólar e oferece uma taxa de juros anual de R, após t anos, resultará em e^Rt dólares com capitalização contínua. Aqui, R é a equivalência decimal dos juros expresso em porcentagem, então para 5% de juros, R = 5/100 = 0,05.

Ensaio de Bernoulli

Grafico de probabilidade P de não observar eventos independentes cada um de probabilidade 1/n após n ensaios de Bernoulli, e 1 − P  vs n ; isso pode ser observado que quando n aumenta, a probabilidade de um evento de chance de 1/n nunca parecer após n tentativas rapidamente converge para 1/e

O Número e também tem aplicações na teoria das probabilidades, de uma maneira que não está obviamente relacionada com o crescimento exponencial. Suponha que um jogador jogue uma máquina caça-níqueis que paga com uma probabilidade de um em n e jogue n vezes. À medida que n aumenta, a probabilidade de o jogador perder todas as n apostas aproxima-se de 1/e. Para n = 20, isso já é aproximadamente 1/2,789509...

Este é um exemplo de um processo de ensaio de Bernoulli. Cada vez que se joga no caça-níqueis, há uma probabilidade de uma em n de ganhar. Jogando n vezes é modelado pela distribuição binomial, que é proximamente relacionado ao binômio de Newton e ao triângulo de Pascal. A probabilidade de ganhar k vezes das n tentativas é de:

$\Pr[k~\mathrm {vit{\acute {o}}rias~de} ~n]={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.$

Em particular, a probabilidade de não ganhar nenhuma vez (k = 0) é

$\Pr[0~\mathrm {vit{\acute {o}}rias~de} ~n]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

O limite da expressão acima, quando n tende a infinito, é precisamente 1/e.

Crescimento e decaimento exponencial

Ver artigos principais: Crescimento exponencial e Decaimento exponencial

O crescimento exponencial é um processo que aumenta a quantidade ao longo do tempo a uma taxa cada vez maior. Isso ocorre quando a taxa de variação instantânea (ou seja, a derivada) de uma quantidade em relação ao tempo é proporcional à própria quantidade. Descrita como uma função, uma quantidade passando por crescimento exponencial é uma função exponencial do tempo, ou seja, a variável que representa o tempo é o expoente (em contraste com outros tipos de crescimento, como a ordem quadrática). Se a constante de proporcionalidade for negativa, então a quantidade diminui ao longo do tempo, e diz-se que está passando por um decaimento exponencial. A lei do crescimento exponencial pode ser expressa de formas diferentes, mas matematicamente equivalentes, usando uma base diferente, para a qual o número e é uma escolha comum e conveniente:

$$x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }.$$

Aqui, x₀ denota o valor inicial da quantidade x, k é o constante de variação, e τ é o tempo que leva para a quantidade aumentar um fator de e.

Distribuição normal padrão

Ver artigo principal: Distribuição normal

A distribuição normal com média zero e desvio padrão unitário é conhecida como a distribuição normal padrão, dado pela função densidade de probabilidade

$$\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.$$

A restrição do desvio padrão unitário (e, portanto, também da variância unitária) resulta no 12 do expoente, e a restrição da área total unitária sob a curva $\phi (x)$ resulta no fator $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$. Esta função possui o eixo de simetria x = 0, em que obtém o seu valor máximo $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$, e possui os pontos de inflexão x = ±1.

Desarranjo

Ver artigo principal: Desarranjo

Outra aplicação de e, também descoberta em parte por Jacob Bernoulli junto com Pierre Rémond de Montmort, está no problema de desarranjos: n convidados são convidados para uma festa e, à entrada, os convidados entregam seus chapéus ao mordomo, que por sua vez coloca os chapéus em n caixas, cada uma rotulada com o nome de um convidado. No entanto, o mordomo não perguntou as identidades dos convidados e, portanto, coloca os chapéus em caixas selecionadas aleatoriamente. O problema de Montmort é encontrar a probabilidade de nenhum dos chapéus ser colocado na caixa certa. Essa probabilidade, denotada por p_n, é dada por:

$p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.$

Quando n tende a infinito, p_n se aproxima de 1/e. Além disso, o número de maneiras que os chapéus podem ser colocados as caixas de forma que nenhum fique na caixa correta é de n!/e arredondado ao inteiro mais próximo, para todo n positivo.

Problemas de planejamento ótimo

O valor máximo de ${\sqrt[{x}]{x}}$ ocorre em x = e. Equivalentemente, para qualquer valor da base b > 1, o valor máximo de x^-1log_b x ocorre em x = e (O problema de cálculo de Steiner [en], discutido abaixo).

Isto é útil em problemas de um graveto de comprimento L que foi quebrado em n partes iguais. O valor de n que maximiza o produto de seus comprimentos é

$n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor$ ou $\left\lceil {\frac {L}{e}}\right\rceil .$

A quantidade x^-1log_b x também é uma medida de informação extraído de um evento que ocorre com probabilidade 1/x (aproximadamente 36,8% quando x = e, de modo que essencialmente a mesma divisão ótima aparece em problemas de planejamento ótimo, como o problema da secretária.

Assintóticos

O número e ocorre naturalmente em conexão com diversos outros problemas envolvendo assintóticos. Um exemplo é a Fórmula de Stirling para os assintóticos da função fatorial, no qual ambos os números e e π aparecem:

$$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$$

Consequentemente,

$$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.$$

Propriedades

Cálculo

Os gráficos das funções x ↦ a^x para quando a = 2 (pontilhado), a = e (azul), e a = 4 (tracejado). Todos eles passam pelo ponto (0,1), mas a reta vermelha (cujo declive é 1) somente é tangente de e^x neste caso

O valor da função logarítmica natural para o logaritmando e, isto é, ln e, é igual a 1

A principal motivação para a introdução do número e, particularmente no cálculo, é para realizar cálculos diferenciais e integrais com funções exponenciais e logarítmica. A função exponencial geral y = a^x tem uma derivada, dada pelo limite:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}$

O limite entre parênteses à direita é independente da variável x. Seu valor acaba sendo o logaritmo de a na base e. Portanto, quando o valor de a é igual a e, o limite é igual a 1, e assim chega-se à seguinte simples identidade:

$${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.$$

Consequentemente, a função exponencial de base e é particularmente adequada para fazer cálculo. Ao escolher e (diferente de qualquer outro número) como base da função exponencial faz os cálculos envolvendo derivadas muito mais simples.

Outra motivação vem ao considerar a derivada do logaritmo de base a (ou seja, log_a x), para x > 0

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}$

em que foi feita a substituição u = h/x foi feita. O logaritmo de base a de e é 1, se a for igual a e. Então, simbolicamente,

$${\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.$$

O logaritmo com esta base especial é chamado de logaritmo natural, sendo denotado como ln; ele se comporta bem ao diferenciar, pois não há limite indeterminado para realizar os cálculos.

Assim, há duas maneiras de selecionar tais números especiais a. Uma maneira é definir a derivada da função exponencial a^x sendo igual a a^x e resolvendo para a. A outra maneira é definir a derivada do logaritmo de base a como 1/x e resolver para a. Em cada caso, chega-se a uma escolha conveniente de base para fazer cálculo. Acontece que essas duas soluções para a são, na verdade, a mesma: o número e.

As cinco regiões coloridas possuem a mesma área, e definem unidades de ângulo hiperbólico junto com a hipérbole xy = 1.

A série de Taylor para a função exponencial pode ser deduzida de fato que essa função é a sua própria derivada e que é igual a 1 quando avaliada em 0:

$$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$$

Definindo x = 1 recupera a definição de e como a soma de séries infinitas.

A função logaritmo natural pode ser definida como a integral de 1 a x de 1/t, e a função exponencial como a função inversa do logaritmo natural. O número e é o valor da função exponencial avaliada em x = 1, ou, equivalentemente, o número no qual o logaritmo natural é 1. Disso segue que e é o único número real positivo que

$$\int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.$$

Porque e^x é a única função (salvo pelas multiplicações por uma constante K) que é igual a sua própria derivada:

$${\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},$$

e, portanto, também por sua própria antiderivada:

$$\int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.$$

Equivalentemente, a família de funções

$$y(x)=Ke^{x}$$

em que K é qualquer número real ou complexo, é a solução completa para a equação diferencial

$$y'=y.$$

Desigualdades

As funções exponenciais y = 2^x e y = 4^x intersectam o gráfico de y = x + 1, respectivamente, em x = 1 e x = -1/2. O número e é a única base tal que y = e^x intersecta apenas em x = 0. Podemos inferir que e está entre 2 e 4

O número e é o único número real tal que

$$\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}$$

para todo x positivo.

Também, tem-se a desigualdade

$$e^{x}\geq x+1$$

para todo x real, com a igualdade se e somente se x = 1. Além disso, e é a única base da exponencial que para a desigualdade a^x ≥ x + 1 se mantém para todo x. Este é um caso limite da desigualdade de Bernoulli.

Função do tipo exponencial

O máximo global de √x ocorre em x = e

O problema de cálculo de Steiner [en] questiona o máximo global da função

$$f(x)=x^{\frac {1}{x}}.$$

Este máximo ocorre precisamente em x = e. (Pode ser verificado que a derivada de ln e é zero somente neste valor de x.)

Similarmente, x = 1/e é onde ocorre o mínimo global da função

$$f(x)=x^{x}.$$

A tetração infinita

$x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$ ou ${^{\infty }}x$

converge se e somente se x ∈ [(1/e)^e, e^1/e] ≈ [0.06599, 1.4447] , mostrado por um teorema de Leonhard Euler.

Teoria dos números

O número real e é irracional. Euler provou isso ao mostrar que a expansão de sua fração contínua não termina. (Ver também a Prova de Fourirer que e é irracional.)

Além disso, pelo teorema de Lindemann–Weierstrass, e é transcendente, o que significa que ele não uma solução para uma equação polinomial não nula com coeficientes racionais. Foi o primeiro número a ser provado ser transcendente sem ter sido construído especificamente para esse fim (compare com os números de Liouville); a prova foi dada por Charles Hermite em 1873.

É conjurado que e seja normal, o que significa que quando e é expresso em qualquer base, os possíveis dígitos nesta base são distribuídos uniformemente (ocorre com mesma probabilidade em qualquer sequência de um dado comprimento).

Na geometria algébrica, um período é um número que pode ser expresso como uma integral de uma função algébrica sobre um domínio algébrico. A constante π é um período, mas é conjurado que e não seja.

Números complexos

A função exponencial e^x pode ser escrita como uma série de Taylor

$$e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$$

Já que esta série é convergente para todo valor complexo de x, é comumente utilizada para estender a definição de e^x para os números complexos. Isto, junto com a série de Taylor para sen e cos x, permite que seja derivado a fórmula de Euler:

$$e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x,$$

que vale para todo complexo x. O caso especial com x = π é a identidade de Euler:

$$e^{i\pi }+1=0,$$

que é considerado um exemplar de beleza da matemática, já que exibe uma profunda conexão entre os números mais fundamentais da matemática. Em adição, é diretamente utilizado numa prova que π é transcendente, que implica na impossibilidade da quadratura do círculo. Além disso, a identidade implica que, no principal ramo do logaritmo,

$$\ln(-1)=i\pi .$$

Ademais, usando as propriedades da potenciação,

$$(\cos x+i\operatorname {sen} x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx),$$

para qualquer inteiro n, que é a fórmula de De Moivre.

As expressões cos x e sen x em termos da função exponencial pode ser deduzido como a série de Taylor:

$$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.$$

A expressão cos x + sen x às vezes é abreviado como cis x.

Representações

Ver artigo principal: Lista de representações de e

O número e pode ser representado de diversas maneiras: como uma série infinita, um produtório infinito, uma fração contínua, ou um limite. Em adição aos limites e séries dados acima, há também a fração contínua

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],$

que escrito é

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.$

O seguinte produtório é avaliado como e

$$e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .$$

Diversas outras representações de e como séries, produtórios, frações contínuas e limites já foram provados.

Representações estocásticas

Em adição às expressões analíticas exatas para representar e, há técnicas estocásticas para estimar e. Uma dessas aproximações inicia com a sequência infinita de variáveis aleatórias X₁, X₂..., dados da distribuição uniforme em [0, 1]. Seja V o menor número n tal que a soma das primeiras n observações exceda 1:

$$V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.$$

Então o valor esperado de V é e: E(V) = e.

Dígitos conhecidos

O número de dígitos conhecidos de e aumentou substancialmente durante a última década. Isso foi devido tanto ao aumento do desempenho dos computadores quanto a melhorias nos algoritmos.

Número de dígitos decimais conhecidos de e

Data	Dígitos decimais	Computação realizada por
1690	1	Jacob Bernoulli
1714	13	Roger Cotes
1748	23	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. Marcus Boorman
1949	2,010	John von Neumann (no ENIAC)
1961	100,265	Daniel Shanks e John Wrench
1978	116,000	Steve Wozniak no Apple II

Desde 2010, a proliferação de computadores pessoais modernos de alta velocidade, tornou-se viável que amadores computassem trilhões de dígitos de e numa quantidade aceitável de tempo. Em 5 de dezembro de 2020, um cálculo recorde foi feito, tendo sido calculado 31 415 926 535 897 (aproximadamente π ×10¹³) dígitos de e.

Computar os dígitos

Uma maneira de computar os dígitos de e é com a série

$$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}.$$

Um método mais rápido que envolve duas funções recursivas p(a, b) e q(a, b). As funções são definidas como

${\binom {p(a,b)}{q(a,b)}}={\begin{cases}{\binom {1}{b}},&{\text{se }}b=a+1{\text{,}}\\{\binom {p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}},&\mathrm {sen{\tilde {a}}o,~em~que~} m=\lfloor (a+b)/2\rfloor {\text{.}}\end{cases}}$

A expressão

$$1+{\frac {p(0,n)}{q(0,n)}}$$

produz a n-ésima soma parcial da série acima. Este método utiliza divisão binária [en] para computar e com menos operações aritméticas de dígito único e, portanto, reduzindo a complexidade por unidades. Combinando com métodos baseados na transformada rápida de Fourier de multiplicar inteiros deixa a computação dos dígitos bem rápida.

Na cultura computacional

Durante o surgimento da cibercultura, ocasionalmente indivíduos e organizações prestam homenagem ao número e.

Um antigo exemplo é do cientista da computação Donald Knuth fez que o número da versão do seu programa Metafont se aproximasse de e. As versões eram 2, 2.7, 2.71, 2.718, e assim por diante.

Noutra instância, a oferta pública inicial do Google em 2004, em vez de um valor redondo de dinheiro, a empresa anunciou que a intenção era de aumentar 2 718 281 828 USD, que é o arredondamento de e bilhões de dolares.

O Google também foi responsável por um outdoor que apareceu no coração do Vale do Silício, e posteriormente em Cambridge, Massachusetts; Seattle, Washington; e Austin, Texas. Ele dizia "{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com" (lit. primeiro número primo de 10 dígitos encontrado em dígitos consecutivos de e). O primeiro número primo de 10 dígitos em e é 7427466391, que começa no 99º dígito. Resolver esse problema e visitar o site anunciado (agora desativado) levou a um problema ainda mais difícil de resolver, que consistia em encontrar o quinto termo na sequência 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Descobriu-se que a sequência consistia em números de 10 dígitos encontrados em dígitos consecutivos de e, cuja soma dos dígitos era 49. O quinto termo na sequência é 5966290435, que começa no 127º dígito. Resolver esse segundo problema levou finalmente a uma página da Google Labs onde o visitante era convidado a enviar um currículo.

Ligações externas

• 1 milhão de casas decimais do número e e NASA.gov para 2, 5 e 10 milhões de casas decimais (em inglês)
• Aproximações de e (em inglês) no Wolfram MathWorld
• Primeiros usos de símbolos para constantes (em inglês) 13 de janeiro de 2008
• A história de e (em inglês), por Robin Wilson no Gresham College, 28 de fevereiro de 2007 (download disponível do áudio e vídeo)
• Ferramenta de busca de e (em inglês) 2 bilhões de dígitos pesquisaveis de e, π e √2