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A equação de Lane-Emden é um modelo para descrever a densidade e a pressão no interior das anãs brancas.

Em astrofísica, a equação de Lane-Emden é uma equação diferencial ordinária que modeliza a estrutura interna de um sistema termodinâmico descrito pela equação de estado de um fluido politrópico auto-gravitante, ou seja, sujeito somente a influência de sua própria massa. A equação é obtida a partir da hipótese adicional de simetria esférica, que exclui as situações em que os sistemas possuem movimento de rotação.

Essa equação determina o perfil de pressão, densidade e temperatura em alguns casos de interesse físico, como o gás ideal e o gás degenerado de férmions à temperatura nula nas situações não-relativística e ultra-relativística. Esses modelos permitem uma descrição simples de anãs brancas e outros astros compactos, nos quais a pressão de degenerescência tem um papel importante.

A equação de Lane-Emden recebe o seu nome em homenagem aos astrofísicos Jonathan Lane e Robert Emden, sendo Lane quem primeiro propôs esta equação em 1870. Lord Kelvin e A. Ritter fizeram contribuições importantes ao estudo dessa equação no século XIX, assim como Ralph H. Fowler e Subrahmanyan Chandrasekhar nos anos 1930.

Índice

ApresentaçãoEditar

 
Em 1869, Lane publicou pela primeira vez esta equação com o objetivo de estimar a temperatura da surfície solar. De fato, a zona de convecção de um estrela pode ser considerada em equilíbrio convectivo e modelada pela equação de Lane-Emden.

A equação diferencial de Lane-Emden é dada por:

  •  

onde   é o raio reescalonado:

 

e a densidade   é dada como.

 

os subescritos "c" referem-se aos valores de referência da adimensionalização e são normalmente escolhidos os valores encontrados no centro do politropo. A condição de simetria esférica implica necessariamente que a derivada é nula em  :

  •  

O valor de   em  , pode ser obtido a partir do valor da densidade:

  é dado

No caso mais comum em que escolhe-se  , temos:

  •  

Contexto físicoEditar

 
No equilíbrio, o efeito do gradiente de pressão e do campo gravitacional se anulam.

Em um fluido politrópico, a pressão P está relacionada com a densidade   por uma equação de estado da forma:

 ,

onde C é uma constante e   é um número não inferior a 1 chamado de constante adiabática. A constante adiábatica se relaciona com índice do politropo pela relação:

 .

O fluido está sumetido à força gerada pelo seu próprio campo gravitacional. Esta força é radial e aponta para o centro da estrutura. A magnitude da força gravitacional é denotada pela letra g é considerada uma função da distância ao centro r:

 

do teorema das cascas esféricas a força gravitacional dentro de uma estrutura com simetria esférica é dado pela expressão:

 

onde   é massa total contida até a distância r do centro:

 

aqui   é densidade do fluido à distância s do centro.

Como o fluido está em equilíbrio hidrostático, vale a equação de Poisson:

 

Derivação da equação de Lane-EmdenEditar

Da simetria esférica e da relação (1), a equação (4) reduz a:

 

Usando o valor de M(R) dado por (3) em (2) e substituindo esta expressão para a densidade em (5)

 

ou, equivalentemente:

 

Esta é uma equação íntegro-diferencial para a densidade   em função de  . Diferenciando ambos os lados da equação por  , obtemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:

 

A idéia agora é introduzir a seguinte mudança de variáveis:

 
 

ou, equivalentemente:

 

A equação de estado (1) sugere definir  , de forma que:

 

e assim, obtemos:

 

E conclui-se o desenvolvimento, introduzindo uma nova mudança de variáveis, rescalonando o raio:

 

Soluções da equaçãoEditar

 
Soluções da Equação de Lane-Emden para n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

A equação pode ser resolvida analiticamente quando n = 0, 1 or 5:

n = 0 1 5
  =      
ζ0 =    

Aqui, ζ0 indica o primeiro zero da solução.

Caso n = 0Editar

O caso   descreve um politropo em que a densidade é uniforme (isocórico). O problema neste caso é linear e é dado por:

 

É fácil ver que a solução geral da equação é dada por:

 

a condição de a solução estar definida na origem implica   e a condição   implica  . A solução é, portanto, dado por:

 , cuja derivada vale:
 , que, de fato, se anula na origem.

Caso n = 1Editar

No caso  , o problema é novamente linear e recai numa equação de Bessel esférica de índice 0:

A solução geral desta equação é dada por:

 

Da mesma forma, como foi feito para o caso  ,   e  , observando que:

  e, portanto, a solução é dada por:
  cuja derivada vale:
  cujo limite quando   é nulo.

Soluções singularesEditar

Quando se desconsideram as condições iniciais, a equação de Lane-Emden possui soluções singulares na origem para todo  , ou seja,   da seguinte forma:

 ,

onde

 
 .

Transformações da Equação de Lane-EmdenEditar

  • Substituindo  , a equação reduz à
 
  • Substituindo   (transformação de Kelvin), a equação se transforma em:
 
  • As transformações de Emden consitem em fazer a seguinte mudança de variáveis:
 

que satisfaz a seguinte relação:

 

Esta mudança aplicada à equação na forma dada pela transformação de Kelvin, conduz a:

 

Este equação pode ser simplificada ainda mais pela introdução de mais uma nova variável:

 

que reduz a última equação a:

 

Expansão em séries de TaylorEditar

Pode-se encontrar uma expressão para a solução da Equação de Lane-Emden em torno de   através do método de Frobenius, que consiste em expandir a solução em série de Taylor:

 

As condições iniciais implicam diretamente:

 

os outros coeficientes devem ser obtidos subsituindo a série de   na equação. Este procedimento resulta em:

 

ReferênciasEditar