Equação de Langevin

Em física estatística, uma equação de Langevin é uma equação diferencial estocástica que descreve o movimento de uma variável aleatória (e.g., a posição de uma partícula suspensa num liquido) quando sujeita a um potencial; geralmente, é este potencial que impõe a natureza aleatória ao sistema. Este potencial, normalmente, pode ser decomposto em duas componentes: um potencial estático (e.g., campo elétrico) e um potencial aleatório. Um exemplo típico do uso destas equações é o movimento browniano onde a variável aleatória é a posição de uma partícula embutida num banho térmico e o potencial é o efeito da temperatura do banho, ou seja, o efeito das colisões entre a partícula e as moléculas do banho térmico.

Exemplos de equações de LangevinEditar

Movimento brownianoEditar

A equação de Langevin original, desenvolvida por Paul Langevin,[1] foi utilizada para descrever o movimento browniano. Neste processo, o movimento de uma partícula browniana de massa   e posição   é apenas uma consequência das colisões entre a partícula e as moléculas do meio envolvente. Estas colisões levam a dois efeitos. O primeiro, macroscópico, é conhecido como atrito viscoso e pode ser expresso como uma força   onde   é o coeficiente de amortecimento (próprio do meio envolvente) e   é a velocidade da partícula. O segundo efeito, estocástico, é uma força (ou ruído)   que se assume ser Gaussiana de media nula   , graças à lei dos grandes números, e função de correlação   para todas as direções   do espaço de   dimensões onde   é a constante de Boltzmann e   é a temperatura do meio envolvente.

Aplicando a segunda lei de Newton obtemos:

 

onde   é a aceleração da partícula.

Esta equação de Langevin pode ser integrada (por via de uma transformada de Laplace por exemplo):

 ,

Daqui podemos tirar varias conclusões, como por exemplo:

  •  ;
  •  ;

note-se que quando o sistema se encontra em equilíbrio   a velocidade média da partícula é nula e

 

este é o famoso resultado do teorema da equipartição (de energia) para a energia média de partículas num gás perfeito.

Circuito elétrico com ruido térmicoEditar

Outros sistemas podem ser tratados da mesma maneira tais como o ruido térmico numa resistência elétrica:

 

Considerações adicionaisEditar

Existe uma conexão direta entre uma equação de Langevin e a equação de Fokker-Planck correspondente, geralmente facilitando a resolução do sistema. Porém, é preciso notar que nem todas as equações de Langevin têm uma equação de Fokker-Planck correspondente (por exemplo, se o ruído não for gaussiano).

Soluções numéricas alternativas podem ser obtidas mediante simulação de Monte Carlo. Outras técnicas têm também sido utilizadas, que se baseiam na analogia entre física estatística e mecânica quântica (por exemplo, a equação de Fokker-Planck pode ser transformada na equação de Schrödinger com uma transformação de variáveis).

BibliografiaEditar

  • The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Second Edition), by W T Coffey (Trinity College, Dublin, Ireland), Yu P Kalmykov (Université de Perpignan, France) & J T Waldron (Trinity College, Dublin, Ireland).
  • World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - Vol 14. (The First Edition is Vol 10).
  • Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation.

ReferênciasEditar

  1. Langevin, P. (1908). «Sur la théorie du mouvement brownien [On the Theory of Brownian Motion]». C. R. Acad. Sci. Paris. 146: 530–533 ; reviewed by D. S. Lemons & A. Gythiel: Paul Langevin’s 1908 paper "On the Theory of Brownian Motion" [...], Am. J. Phys. 65, 1079 (1997), doi:10.1119/1.18725