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Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial elíptica de alta relevância, pois é descritora modelar de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.

DefiniçãoEditar

Em um conjunto aberto  , a equação de Laplace é definida por[1]:

 

onde,   denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

 

Aqui, a incógnita   é uma função de   em   Uma tal função   é dita ser harmônica, se é solução da equação de Laplace e é duas vezes continuamente diferenciável, i.e.   e  . Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por  . Esta notação é motivada pelo fato de que  , onde   denota o gradiente.

Definição em  Editar

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano  , a equação de Laplace toma a forma[2] (em coordenadas cartesianas):

 

Em coordenadas polares  , a equação torna-se:

 

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis  ,   e  .

Definição em  Editar

Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais   duplamente diferenciáveis, de variáveis reais  ,   e  , tais que:

- em coordenadas cartesianas

 

- em coordenadas cilíndricas,

 

- em coordenadas esféricas,

 

Solução fundamentalEditar

A função   definida por:

 

é chamada de solução fundamental da equação de Laplace.[1] Aqui,   denota o volume da bola unitária em  . Verifica-se, por substituição direta, que   em  .

Condições de contornoEditar

A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno.

Problema de DirichletEditar

 Ver artigo principal: Problema de Dirichlet

Quando como condição de contorno é especificado o valor da função sobre o contorno   do domínio  , esta é denominada condição de contorno de Dirichlet:

 .

UnicidadeEditar

Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se   é conexo,   e   é uma função não-negativa (não-positiva), então   é não-negativa (não-positiva) em  . Como consequência, existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.[1]

Observamos que a unicidade de solução para o problema de Dirichlet pode ser garantida mesmo sem a hipótese de conexidade sobre  . Para tanto, veja condição de contorno de Dirichlet para equação de Poisson.

Representação da SoluçãoEditar

Se   é solução do problema de Dirichlet acima, então:[1]

 

onde,   é a normal unitária exterior a   e   é a derivada normal da função de Green:

 

Aqui,   é a solução fundamental (veja acima) e, para cada  ,   é solução de:

 
Fórmula de Poisson para a bolaEditar

A fórmula de representação acima depende da função de Green  . Em alguns casos esta função é conhecida. Se  , então:[1]

 

a qual é conhecida como núcleo de Poisson para a bola  . De fato, podemos mostrar que se  , então:[1]

 

é solução do problema de Dirichlet no sentido que   e:

 


Problema de NeumannEditar

Quando como condição de contorno é especificado a derivada normal função incógnita sobre o contorno   do domínio  , esta é denominada condição de contorno de Neumann:

Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:

 

Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio   e aplicando a primeira identidade de Green:

 

Referências

  1. a b c d e f Evans, Lawrence C. (2010). Partial Differential Equations 2 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0821849743 
  2. Figueiredo, Djairo (1987). Análise de Fourier e equações diferenciais parciais 2 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 8524400269 

Ver tambémEditar


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