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Na matemática, mais especificamente dentro das equações Diofantinas, a equação de Pell (também chamada de equação de Pell-Fermat) é a equação " ".

Esta equação foi nomeada em homenagem ao matemático inglês John Pell e foi estudada por Brahmagupta no século VII e por Fermat no século XVII[1]. A equação de Pell é um caso especial da equação diofantina quadrática e tem a forma:

.

Onde n é um inteiro positivo.

Se n não possui raiz exata (ou seja n não é quadrado), então existem infinitas soluções inteiras (Se n tiver raíz exata pode-se mostrar que a única solução é e )[2].

Nas coordenadas cartesianas, a equação que tem a forma de uma hipérbole; soluções ocorrem sempre que a curva passa através de um ponto cujas coordenadas e são ambas números inteiros, tais como a solução trivial[3] com em e [4][5]. Joseph Louis Lagrange provou que, contanto que não seja um quadrado perfeito, a equação de Pell tem infinitas soluções inteiras distintas. Estas soluções podem ser usadas para aproximar com precisão a raiz quadrada de pelos números racionais de forma [6]

Essa equação de Pell-Fermat são estudadas a milênios na Índia e na Grécia. Eles tinha uma grande interesse particularmente no caso de n = 2 uma vez que sua solução forneciam uma boas aproximações racionais de Baudhayana encontrou os pares (17,12) e (577, 408) forneciam muito boas a aproximações Arquimedes usou a equação no caso de n = 3 e obteve a aproximação . com Brahmagupta , que desenvolveu o método chakravala para resolver a equação de Pell e outras equações indeterminadas quadráticas em sua Brahma Sphuta Siddhanta em 628, cerca de mil anos antes da época de Pell. O nome de Pell, nestas equações, ocorre devido a um erro de Euler atribuindo ao matemático inglês John Pell (1610-1685) o estudo da mesma. Aparentemente foi Lord Brouncker (1620-1684) o primeiro matemático europeu moderno a estudar as equações de Pell-Fermat.[7]

SoluçõesEditar

Considere os coeficientes da fração continuada de   e r o índice a partir do qual os coeficientes ficam periódicos.

Se r é par, seja   e  . Caso contrário, seja   e  . Surpreendentemente, existe um teorema que diz que x, y representam a menor solução inteira positiva para (1)[8].


Uma vez encontrada uma solução   , todas as soluções   restantes podem ser calculadas algebricamente a partir de

 


ExemploEditar

Considere a equação de Pell para n = 2; isso é

 

Note que (3,2) é uma solução não trivial para a equação. A aplicação da fórmula de recorrência a esta solução gera a sequência infinita de soluções

(1,0); (3, 2); (17, 12); (99,70); (577, 408), ...

Referências

  1. «Pell Equation». Wolfram - MathWorld. Consultado em Janeiro de 2015  Verifique data em: |acessodata= (ajuda)
  2. Kunigami (12 de Fevereiro, 2012). «Equações de Pell». Consultado em Janeiro de 2015  Verifique data em: |acessodata=, |data= (ajuda)
  3. Introduction to partial differential equations with applications, by Zachmanoglou and Thoe, p309
  4. The Pell equation
  5. Lagarias, J. C. "On the Computational Complexity of Determining the Solvability or Unsolvability of the Equation ." Trans. Amer. Math. Soc. 260, 485-508, 1980.
  6. Pell Equation
  7. Gondim, Rodrigo (2011). Aritmética em Retas e Cônicas. Sergipe: [s.n.] pp. 57 – 64 
  8. H. W. Lenstra Jr. (FEBRUARY 2002). «Solving the Pell Equation» (PDF). NOTICES OF THE AMS (pg. 183-190). Consultado em Janeiro de 2015  Verifique data em: |acessodata=, |data= (ajuda)
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