Abrir menu principal

Equações diferenciais lineares são equações diferenciais da seguinte forma :

(0.1)

As soluções de uma equação diferencial linear podem ser somadas a fim de produzir uma nova solução. Diz-se que uma equação diferencial é linear quando satisfaz duas características:

  • Cada coeficiente e o termo de não-homogeneidade só dependem da variável independente, no caso x;
  • A variável dependente, no caso y, e suas derivadas são de primeiro grau.

Um exemplo de equação diferencial não linear :

IntroduçãoEditar

Uma equação diferencial linear também pode ser escrita de forma condensada:

 

Onde   é dito um operador linear diferencial, atuando sobre y(x) e tendo a forma de:

 

Equações diferenciais são classificadas quanto à ordem n, sendo n a ordem mais alta de uma derivada com a qual o termo dependente (y(x)) está envolvido. Para resolver uma equação diferencial são precisos n valores iniciais, no caso de EDO’s, ou n condições de contorno, no caso de EDP’s.

As equações diferenciais lineares podem ser classificadas em:

  • Homogêneas se g(x)=0 para todo x ou não-homogêneas, caso essa condição não seja satisfeita;
  • Ordinárias (EDO’s) ou parciais (EDP’s);
  • Coeficientes constantes se todos os   forem funções constantes.

Equação diferencial linear de primeira ordemEditar

A equação diferencial linear (0.1) diz-se de ordem n, supondo   visto ser   a ordem mais elevada das derivadas de y que figuram na equação.

Para   a equação (0.1) fica

  (0.2)

Temos neste caso uma equação diferencial de Primeira Ordem.

DesenvolvimentoEditar

Dividindo ambos os membros por   obtém-se uma equação da forma

  (0.3)

Na equação (0.3) supõe-se que   e   são contínuas num certo intervalo   onde pretendemos encontrar a solução geral da equação.

Para resolver esta equação, usa-se o fator integrante   Multiplicando ambos os membros da equação por   obtém-se a seguinte equação equivalente:

  (0.4)

Deve-se notar que, como   gera uma expressão da forma   pode-se escolher qualquer constante C para o factor integrante (escolhe-se o que gera a solução mais simples).

Vamos mostrar que a solução geral de (0.3) é dada por

  (0.5)

Com efeito, (0.4) é equivalente a

  (0.6)

(Verifique, derivando o primeiro membro de (0.6).) Integrando, obtém-se (0.5). Conclui-se assim que toda a solução   de (0.3) satisfaz (0.6). Por outro lado é fácil ver que toda a função   nas condições de (0.5), i.e., tal que

  (0.7)

é solução da equação diferencial (0.3). (Derive   ou seja, o segundo membro de (0.7), e substitua   e   em (0.3)).

ExemploEditar

Considere a equação diferencial

  (0.8)

Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Comparando com (0.3),

  e  

 

A solução geral da equação é dada por

 

donde se obtém

 

i.e.,

 

A solução geral (explícita) da equação (0.8) é então

 

Equação Diferencial Linear Homogênea com Coeficientes ConstantesEditar

Diz-se que uma equação diferencial é homogênea de coeficientes constantes quando seu termo fonte, ou forçante, é igual a zero para todo o domínio e seus   são funções constantes. Por exemplo:

 
 

A Equação de Euler-Cauchy é um exemplo muito famoso de equação diferencial homogênea com coeficientes constantes.

ExemploEditar

Dada a equação diferencial a seguir, com suas respectivas condições iniciais. Observe que são necessárias duas condições iniciais, já que é uma equação diferencial linear de segunda ordem.

 

 
Aplica-se a Transformada de Laplace, de modo que:

 

 

 

 

Agora aplica-se a Transformada Inversa de Laplace para se encontrar a solução no domínio do tempo:

 

Equação Diferencial Linear Homogênea com Coeficientes VariáveisEditar

É aquela equação diferencial com termo fonte igual a zero para todo o domínio e com os coeficientes sendo funções que assumem diferentes valores de acordo com o termo independente. Por exemplo:

 
 

Exemplo:[1]

 

 
Aplica-se a Transformada de Laplace:

 

 

 
Sendo K uma constante de integração:
 

 
Aplicando a Transformada Inversa e utilizando as condições iniciais:

 
 

Onde   é a Função de Bessel de ordem zero.

Equação Diferencial Linear Não-Homogênea com Coeficientes ConstantesEditar

Equação diferencial com funções constantes nos termos   e termo forçante diferente de zero em pelo menos um ponto do domínio. Há duas formas para se resolver esse tipo de equação, na primeira encontra-se uma solução particular através do método de variação de parâmetros ou de coeficientes a determinar e depois uma solução denominada geral, a qual corresponde à solução para a equação homogênea correspondente. A segunda forma é aplicar a Transformada de Laplace obtendo-se a solução diretamente.

ExemploEditar

Dada a seguinte equação diferencial, onde   é a função Delta de Dirac aplicada em  , aplica-se a Transformada de Laplace.

 

 

 

 

 
Aplicando-se a Transformada Inversa:

 

Onde   é a Função de Heaviside aplicada em  .

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares de Primeira OrdemEditar

Sistemas de equação diferenciais lineares surgem naturalmente em problemas físicos e de engenharia. Os de primeira ordem de dimensão n podem ser descritos da seguinte maneira[2]:

 

 

 
 

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar

Referências

  1. Sauter, Esequia; Azevedo, Fábio (2015). Transformada de Laplace. [S.l.: s.n.] 
  2. Boyce, William E; Brannan, James R (2010). Differential Equations. An Introduction to Modern Methods and Applications. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-470-45824-2