Equação diferencial ordinária de primeira ordem

Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é uma equação diferencial ordinária da seguinte forma:

• ${\frac {dx}{dt}}=f(x,t),t\in D\,$

onde $f(x,t)\,$ é dada e a incógnita é a função $x(t)\,$. O domínio $D\,$ pode ser um intervalo ou a reta real inteira.

Quando a função $f(x,t)\,$ não depende explicitamente sobre a variável independente $t\,$ e o problema pode ser escrito na seguinte forma:

• ${\frac {dx}{dt}}=f(x),t\in D\,$

então diz-se que se trata de um sistema autônomo de primeira ordem.

Exemplos

Equação	Solução	Domínio
${\frac {dx}{dt}}=t\,$	$x(t)={\frac {t^{2}}{2}}+C\,$	$t\in \mathbb {R}$
${\frac {dx}{dt}}=x\,$	$x(t)=Ce^{t}\,$	$t\in \mathbb {R}$
${\frac {dx}{dt}}=xt\,$	$x(t)=Ce^{t^{2}/2}\,$	$t\in \mathbb {R}$
${\frac {dx}{dt}}=x^{2}\,$	$x(t)={\frac {1}{C-t}}\,$	$t\in \mathbb {R} \backslash \{C\}$

Em todos os casos a constante de integração $C\,$ é arbitrária

O problema de valor inicial

O problema de valor inicial para a equação diferencial ordinária de primeira ordem consiste em encontrar a função $x(t)\,$ que satisfaz a equação diferencial dada e assume a condição inicial no ponto inicial do intervalo:

• $\left\{{\begin{array}{rcl}{\frac {dx(t)}{dt}}&=&f(x,t),~~~x>t_{0}\\x(t_{0})&=&u_{0}\end{array}}\right.$

Exemplo

• $\left\{{\begin{array}{rcl}{\frac {dx(t)}{dt}}&=&x,~~~t>0\\x(t=0)&=&1\end{array}}\right.$

A (única) solução desta equação diferencial é dada por

• $x(t)=e^{t}\,$

O teorema de Picard-Lindelöf

Ver artigo principal: Teorema de Picard-Lindelöf

O teorema de Picard-Lindelöf estabelece a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de $t_{0}\,$ para o problema de valor inicial:

${\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t),t)\\x(t_{0})=x_{0}\end{array}}\,$

onde $f(x,t)\,$ é uma função contínua na variável $t\,$ e Lipschitz contínua na variável $x\,$.

O problema de valores contorno

O problema de valores de contorno para a equação diferencial ordinária de primeira ordem consiste em encontrar a função $x(t)\,$ que satisfaz a equação diferencial dada em um intervalo $[t_{0},t_{1}]\,$ e cujos valores nos extremos $t_{0}\,$ e $t_{1}\,$ satisfazem uma condição dada:

• $\left\{{\begin{array}{rcl}{\frac {dx(t)}{dt}}&=&f(x,t),~~~x>t_{0}\\B(x(t_{0}),x(t_{1}))&=&0\end{array}}\right.$

Exemplo

• $\left\{{\begin{array}{rcl}{\frac {dx(t)}{dt}}&=&x,~~~t>0\\x(0)-2x(1)&=&1\end{array}}\right.$

A (única) solução desta equação diferencial é dada por

• $x(t)={\frac {e^{t}}{1-2e}}\,$

Equação linear

O caso linear acontece quando a função $f(x,t)\,$ é da seguinte forma:

• $f(x,t)=\phi (t)+x\psi (t)\,$

A equação fica, então:

• ${\frac {dx(t)}{dt}}-x(t)\psi (t)=\phi (t)\,$

Esta equação pode ser resolvida multiplicando pelo fator integrante:

• $\left({\frac {dx(t)}{dt}}-x(t)\psi (t)\right)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }=\phi (t)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }\,$
• ${\frac {d}{dt}}\left(x(t)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }\right)=\phi (t)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }\,$

então, integrando, temos:

• $x(t)e^{-\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }=x(0)+\int _{0}^{t}\phi (s)e^{-\int _{0}^{s}\psi (\tau )d\tau }ds\,$

ou, equivalentemente:

• $x(t)=x(0)e^{\int _{0}^{t}\psi (\tau )d\tau }+\int _{0}^{t}\phi (s)e^{\int _{s}^{t}\psi (\tau )d\tau }ds\,$

Equações de variáveis separáveis

Uma equação é designada de variáveis separáveis, se puder ser escrita na forma:

${dy \over dx}={\frac {f(x)}{g(y)}}$

Para resolver este tipo de equação primeiro observemos que a primitiva da função $g(y)$ pode ser calculada da seguinte forma

$\int g(y)dy=\int g(y(x)){dy \over dx}dx$

A equação diferencial pode ser escrita como

$g(y){dy \over dx}=f(x)$

e a primitiva em ordem a $x$ do lado esquerdo é igual à primitiva em ordem a $y$ de $g(y)$ como acabamos de ver

$\int g(y)dy=\int f(x)dx+c$

As equações do tipo

${dy \over dx}=f(ax+by+c)$

onde $a$ e $b$ são constantes, não são equações de variáveis separáveis, mas podem ser reduzidas a elas por meio da seguinte substituição

$v=ax+by+c\qquad \Longrightarrow \qquad {dv \over dx}=a+b{dy \over dx}$

Equações exatas

Qualquer equação de primeira ordem pode ser escrita em forma diferencial:

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

esta forma é semelhante à expressão da diferencial de uma função de duas variáveis

$dF(x,y)={\partial F \over \partial x}dx+{\partial F \over \partial y}dy$

Esta equação sugere-nos admitir que existe uma função $F(x,y)$ cujas derivadas parciais são iguais a $M(x,y)$ e $N(x,y)$. No entanto, a segunda derivada parcial de $F$ seria

${\frac {\partial ^{2}{F}}{\partial x^{2}}}y={\partial M \over \partial y}={\partial N \over \partial x}$

Assim, para que a conjetura da existência da função $F(x,y)$ seja consistente, é necessário que as funções $M$ e $N$ verifiquem a seguinte condição

${\partial M \over \partial y}={\partial N \over \partial x}$

nesse caso diz-se que a equação é uma equação exata e pode ser escrita como

$dF(x,y)=0$

sendo a sua solução geral

$F(x,y)=c$

A função $F$ calcula-se encontrando a função cujas derivadas parciais sejam iguais a $M(x,y)$ e $N(x,y)$.

Equações homogêneas

Uma equação de primeira ordem diz-se homogénea se tiver a seguinte forma geral

${dy \over dx}=f{\bigg (}{\frac {y}{x}}{\bigg )}$

para resolver este tipo de equação usa-se a substituição

$v={\frac {y}{x}}\qquad \Longrightarrow \qquad {dy \over dx}=v+x{dv \over dx}$

a qual transforma a equação numa equação de variáveis separáveis. Para reconhecer facilmente se uma função racional é da forma $f(y/x)$ observam-se os expoentes de cada termo no numerador e denominador (soma do expoente de $x$ mais o expoente de $y$) os quais deverão ser iguais. Por exemplo das duas funções seguintes a primeira tem a forma $f(y/x)$ mas a segunda não

${\frac {xy^{2}-x^{3}}{yx^{2}}}\qquad {\frac {xy+y}{2+x}}$

Existem outras equações que podem ser reduzidas a equações homogêneas. Um exemplo típico é a equação

${dy \over dx}=f{\bigg (}{\frac {ax+by+c}{px+qy+r}}{\bigg )}$

onde $a,bc,p,q$ e $r$ são constantes dadas. Se as constantes $c$ e $r$ fossem nulas, a equação seria homogênea; definimos um novo sistema de coordenadas $(u,v)$ para substituir $(x,y)$, de forma a obter

${\begin{aligned}ax+by+c&=&au+bv\\px+qy+r&=&pu+qv\end{aligned}}$

ou de forma equivalente

${\begin{aligned}\color {Red}{a(x-u)+b(y-v)=-c}\\\color {Blue}{p(x-u)+q(y-v)=-r}\end{aligned}}$

a solução deste sistema de equações lineares pode ser obtido por meio da regra de Cramer

$x-u={\frac {\left|{\begin{array}{rr}-c&b\\-r&q\end{array}}\right|}{\left|{\begin{array}{rr}a&b\\p&q\end{array}}\right|}}\qquad y-v={\frac {\left|{\begin{array}{rr}a&-c\\p&-r\end{array}}\right|}{\left|{\begin{array}{rr}a&b\\p&q\end{array}}\right|}}$

como os lados direitos da equação e da equação são constantes, também temos que $dx=du$, $dy=dv$ e a equação diferencial transforma-se numa equação homogênea

${dv \over du}=f\left({\frac {au+bv}{pu+qv}}\right)$

Não-unicidade de soluções

Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem admitem duas soluções distintas que satisfazem a mesma condição inicial. Um exemplo simples de um equação que apresenta esse fenômeno é seguinte:

${\begin{array}{l}{\frac {dx}{dt}}={\sqrt {x}},~t>0\\x(0)=0\end{array}}\,$

Esta admite como solução qualquer função da seguinte forma:

${\begin{array}{lclc}x(t)&=&0,&0\leq t\leq t_{0}\\x(t)&=&{\frac {t^{2}}{4}},&t\geq 0\end{array}}\,$

aqui $t_{0}\,$ é uma constante positiva qualquer.

Divergência em tempo finito

Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem apresentam uma solução que diverge em tempo finito. Um exemplo é a seguinte equação:

${\begin{array}{l}{\frac {dx}{dt}}=x^{2},~t>0\\x(0)=1\end{array}}\,$

Esta admite como solução qualquer função da seguinte forma:

$x(t)={\frac {1}{1-t}},0\leq t<1\,$

Ver também

• Retrato de fase

Ligações externas

• Eric W. Weisstein, First-Order Ordinary Differential Equation no MathWorld.