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Equação paramétrica

Um exemplo de desenho criado a partir de equações paramétricas é a curva da borboleta[1]

Equações paramétricas são um conjunto de equações que expressam um conjunto de quantidades como funções explícitas de número de variáveis independentes, conhecidas como parâmetros. Por exemplo, enquanto a equação de um círculo em coordenadas cartesianas é: um conjunto de equações paramétricas para o círculo pode ser:[2]

[3]

Um exemplo da utilidade das equações paramétricas está na cinemática, onde esse tipo de equação serve para descrever a trajetória que um objeto pode assumir ao longo do tempo, este último serve como parâmetro da equação.[4]

A noção de equação paramétrica tem sido generalizada para superfícies e variedades de mais dimensões, com o número de parâmetros igual ao número de dimensões e o número de equações sendo igual à dimensão do espaço em que o distribuidor ou variedade é considerado. Nas curvas por exemplo um parâmetro é usado, sendo a dimensão igual a um, enquanto em superfícies a dimensão é dois e dois parâmetros são utilizados.

AplicaçõesEditar

As equações paramétricas são frequentemente utilizadas na cinemática, por exemplo, utilizamos as equações paramétricas para descrever movimentos de corpos, a posição de uma partícula pode ser descrita como[5]:

 

a qual pode ser escrita também como:

 

A velocidade, portanto, pode ser encontrada através da derivada dessa fórmula:

 

escrevendo na forma vetorial, obtemos:

 

Consequentemente, a aceleração é dada pela derivada da velocidade ou pela derivada segunda da posição, isto é:

 

na forma vetorial, temos:

 

Além disso, as equações paramétricas são utilizadas na área da computação (CAD - Computer-aided design) e também são usadas para resolver problemas de geometria, uma clássica utilização é a parametrização euclidiana para triângulos retângulos.[6]


Exemplos em duas dimensõesEditar


 
Parábola

ParábolaEditar

A equação de uma parábola não parametrizada é

 

a qual pode ser parametrizada utilizando x=t, para um intervalo   como:

  e  


 
Círculo

CírculoEditar

A equação do círculo de raio igual a 1 comumente utilizada é:

 
para este mesmo círculo podemos escrever a seguinte equação parametrizada, para o intervalo de  

 

ou se preferirmos podemos escrever na forma:

  e  


HipérboleEditar

  • Hipérbole de abertura leste-oeste:
 
Hipérbole

A equação dessa hipérbole no sistema de coordenadas cartesianas é[7]:

 

A equação parametrizada de uma hipérbole de abertura leste-oeste pode ser escrita como:

 

  • Hipérbole de abertura norte-sul:

A equação dessa hipérbole no sistema cartesiano é:[7]

 

A equação parametrizada de uma hipérbole de abertura norte-sul pode ser escrita como:

 

sendo (h,k) o centro da hipérbole, 'a' o semi-eixo real, isto é, metade da distância entre os ramos, e 'b' o semi-eixo imaginário.


ElipseEditar

 
Elipse

A curva no plano cartesiano de uma elipse é[8]:

 

com todos os coeficientes reais, sendo que quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados a equação pode ser simplificada para:

 

sendo (h,k) o centro da elipse e 'a' e 'b' os semi-eixos da elipse.

A equação paramétrica canônica de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos 'a' e 'b' é dada pela seguinte fórmula:

 e  

Enquanto, a equação paramétrica geral dessa mesma curva pode ser dada, por:

 

 

t varia de   Xc e Yc representam o centro da elipse e   é o ângulo entre eixo x e o maior eixo da elipse.


Exemplo em três dimensõesEditar

HéliceEditar

 
Hélice

A hélice é uma curva tridimensional que combina a rotação em torno de um ponto com o movimento de translação desse mesmo ponto, a parametrização dessa forma tridimensional é dada pela seguinte fórmula em coordenadas cartesianas[9]:

 

Em coordenadas cilíndricas, essas equações são escritas da seguinte forma:

 

 

 


ReferênciasEditar

  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 
  2. Weisstein, Eric W. "Parametric Equations." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html
  3. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 
  4. Parametric equations 1 - Introduction to parametric equations, Khan Academy
  5. «O nosso sistema solar (página 5)». cftc.cii.fc.ul.pt. Consultado em 11 de abril de 2019 
  6. «Right triangle». Wikipedia (em inglês). 4 de abril de 2019 
  7. a b «Hipérbole». Wikipédia, a enciclopédia livre. 22 de março de 2019 
  8. «Elipse». Wikipédia, a enciclopédia livre. 22 de março de 2019 
  9. «Hélice (geometria)». Wikipédia, a enciclopédia livre. 30 de novembro de 2014 

Ligações externasEditar

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