Equações separáveis

Definição

Uma equação diferencial é dita separável ou de variáveis separáveis se pode ser escrita na forma.:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {h(x)}{g(y)}}$ ou ${\frac {dy}{dx}}={\frac {u(y)}{v(x)}}$

Para resolvermos uma equação diferencial separável, basta separarmos as variáveis e em seguida integramos ambos os membros.

Observação

Quando a variável independente não aparece explicitamente, ou seja, quando h(x) ou v(x) é uma função constante, a equação diferencial é chamada autônoma.

Método

Seja a EDO de 1ª ordem $y'={\frac {dy}{dx}}=f'(x)$ (1). Podemos obter a solução geral para esta EDO por separação de variáveis:

$y'={\frac {dy}{dx}}=f'(x)$ ⇒ $dy=f'(x)dx$

que pode ser integrada diretamente como:

$y=\int f'(x)dx+C$

onde C é a constante de integração. Para obtermos uma solução particular (ou seja, um valor específico para a constante C), é necessário fornecer uma condição de contorno para a equação (1)..

Exemplo

Propagação de Praga

Sabendo que em uma população isolada com P indivíduos, o número de contaminados por uma doença no instante t, $x(t)\,$, varia em uma taxa proporcional ao número de indivíduos contaminados e não-contaminados. Escrever e resolver a Equação diferencial ordinária associada a este problema.

Solução

${\frac {dx(t)}{dt}}=Kx(t)[P-x(t)]\,$, como esta equação é do tipo separável, temos:

${\frac {dx}{x[P-x]}}=Kdt\,$.

Integrando em ambos os lados, segue que:

$\int {\frac {dx}{x[P-x]}}=\int Kdt\,$.

Resolvendo por frações parciais, obtemos:

${\frac {1}{x[P-x]}}={\frac {A}{x}}+{\frac {B}{[P-x]}}\,$.

Segue um sistema onde:

$1=AP+(B-A)x\,$, com isso $A={\frac {1}{P}}\,$ , $A=B\,$.

Logo temos a seguinte integral:

$\int {\frac {1}{P}}({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{P-x}})dx\,$.

Resolvendo a integral, temos:

$\ln {x}-\ln {(P-x)}=KPt+\ln {C}\,$, onde C é uma constante.

$\ln {\frac {x}{P-x}}=KPt+\ln {C}\,$, assim:

${\frac {x}{P-x}}=Ce^{KPt}\,$ ;

$(1+Ce^{KPt})x=PCe^{KPt}\,$ ;

$x(t)={\frac {PCe^{KPt}}{(1+Ce^{KPt})}}\,$ .

Com isso, a solução desta equação é expressa por:

$x(t)={\frac {P}{(1+{\frac {1}{C}}e^{-KPt})}}\,$ .

Ver também

• Método do fator integrante
• Método da variação de parâmetros
• Equação diferencial exata
• Redução de ordem
• Coeficientes a determinar
• Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)