Equações de campo de Einstein

Em física, a equação de campo de Einstein ou a equação Einstein é uma equação na teoria da gravitação, chamada relatividade geral, que descreve como a matéria gera gravidade e, inversamente, como a gravidade afeta a matéria. A equação do campo de Einstein se reduz à lei de Newton da gravidade no limite não-relativista, isto é, a velocidades baixas e campos gravitacionais pouco intensos.

Representação artística da curvatura do espaço-tempo causada por uma massa

Na equação, a gravidade se dá em termos de um tensor métrico, uma quantidade que descreve as propriedades geométricas do espaço-tempo tetradimensional. A matéria é descrita por seu tensor de energia-momento, uma quantidade que contém a densidade e a pressão da matéria. Estes tensores são tensores simétricos 4 x 4, de modo que têm 10 componentes independentes. Dada a liberdade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem a 6. A força de acoplamento entre a matéria e a gravidade é determinada pela constante gravitacional universal.

Solução da equação de campo de Einstein

Uma solução da equação de campo de Einstein é certa métrica apropriada para a distribuição dada da massa e da pressão da matéria. Algumas soluções para uma situação física dada são com as que se seguem.

Distribuição de massa esférica simétrica e estática

Ver também: Raio de Schwarzschild e Buraco negro de Schwarzschild

A solução para o vazio ao redor de uma distribuição de massa esférica simétrica e estática é a métrica de Schwarzschild e métrica de Kruskal-Szekeres. Se aplica a uma estrela e conduz à previsão de um horizonte de eventos além do qual não se pode observar. Prevê a possível existência de um buraco negro de massa dada $M$ da qual não pode ser extraída nenhuma energia, no sentido clássico do termo (isto é, não é válido para o domínio da mecânica quântica - ver radiação de Hawking).

Massa de simetria axial em rotação

Ver também: Buraco negro em rotação

A solução para o espaço vazio ao redor de uma distribuição de massa de simetria axial em rotação é a métrica de Kerr. Se aplica a uma estrela que gire e conduz à previsão da existência possível de um buraco negro em rotação de massa dada $M$ e momento angular $J$, do qual a energia rotacional pode ser extraída.

Universo isotrópico e homogêneo

Ver também: Big Bang e Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

A geometria geral do universo é determinada de acordo com as equações de Friedmann e o parâmetro cosmológico Ômega se este é maior, menor ou igual a 1. De cima para baixo: um universo esférico ou fechado com curvatura positiva, um universo hiperbólico com curvatura negativa e um universo plano com curvatura nula.

A solução para um Universo isotrópico e homogêneo, totalmente com densidade constante e de uma pressão insignificante, é a Métrica de Friedmann-Robertson-Walker. Se aplica ao Universo em sua totalidade e conduz a diversos modelos de sua evolução que predizem um Universo em expansão. Em 2016, uma equipe de cosmólogos mostrou que o universo é "isotrópico", ou o mesmo, não importa maneira que é observado: Não há eixo de rotação ou qualquer outra direção especial no espaço.

Forma matemática da equação do campo de Einstein

Detalhe de uma parede do Museu Boerhaave, em Leiden, em que aparecem as equações de campo de Einstein e uma representação artística de uma lente gravitacional.

A equação do campo de Einstein descreve como o espaço-tempo se curva pela matéria e, reciprocamente, como a matéria é influenciada pela curvatura do espaço-tempo, ou digamos, como a curvatura dá lugar à gravidade.

A equação do campo se apresenta como se segue:

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

onde o tensor $G_{\mu \nu }\$ é a curvatura de Einstein, uma equação diferencial de segunda ordem em termos do tensor métrico $g_{\mu \nu }$, e $T_{\mu \nu }$ é o tensor de energia-momento. A constante de acoplamento se dá em termos de $\pi$ é Pi, $c$ é a velocidade da luz e $G$ é a constante gravitacional.

O tensor da curvatura de Einstein se pode escrever como

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}$

onde além disso $R_{\mu \nu }\$ é o tensor de curvatura de Ricci, $R$ é o escalar de curvatura de Ricci e $\Lambda$ é a constante cosmológica.

A equação do campo portanto também pode apresentar-se como se segue:

$R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

$g_{\mu \nu }$ é um tensor simétrico 4 x 4, assim que tem 10 componentes independentes. Dada a liberdade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem em número a 6.

Estas equações são a base da formulação matemática da relatividade geral.

Interpretacão geométrica da Equação de Einstein

A Teoria da relatividade mostra que a massa dos corpos depende do observador, pois esta varia com sua velocidade aparente, tal como no conceito de simultaneidade, e portanto também o espaço que se observa (formado por todos os eventos simultâneos). Assim, a equação de Einstein pode enunciar-se também afirmando que para cada observador, a curvatura escalar $\kappa$ do espaço é proporcional à densidade aparente $\rho$:

$\kappa =16\cdot G\pi c^{-2}\rho \$

onde c = 3 × 10¹⁰ [cm s^-1] é a velocidade da luz e G = 6,67 × 10^-8 [cm³ s^-2 g^-1] é a constante da gravitação universal. De acordo com o significado geométrico da curvatura escalar, esta igualdade afirma que em uma esfera de massa M e densidade constante, o excesso radial (a diferença entre o raio real e o raio que corresponderia na geometria euclidiana a uma esfera de igual área) é igual a

$\Delta R=GM/(3c^{2})$

Por exemplo, no caso da Terra o excesso radial é de 0,15 cm e no caso do Sol é de aproximadamente 500 metros.

É notável que, esta equação, que introduz mínimas correções nas fórmulas da geometria euclidiana, atinja quase todas as equações conhecidas da Física macroscópica. Com efeito, quando a velocidade da luz c tende ao infinito, dela se derivam a Lei newtoniana da Gravitação, a Equação de Poisson e, portanto, o caráter atrativo das forças gravitacionais, as equações da mecânica dos fluidos (equação de continuidade e equações de Euler), as leis de conservação da massa-energia e do momento, o caráter euclidiano do espaço, etc..

Igualmente se derivam todas as leis de conservação relativísticas, e que a existência de campos gravitacionais e de massa só são possíveis quando o espaço tem dimensão maior que 2. Mais ainda, se supõe que o espaço tem dimensão 4 (as três que vemos habitualmente mais uma pequeníssima dimensão circular extra, aproximadamente do tamanho do chamado comprimento de Planck ~ $10^{-33}$ cm) da equação de Einstein se deduzem a teoria clássica do electromagnetismo: as equações de Maxwell e, portanto, a lei de Coulomb, a Conservação da carga elétrica e a lei de Lorentz.

Equações de Einstein-Maxwell

Se o tensor energia-momento $T_{\mu \nu }$ é aquele de um campo eletromagnético, i.e. se o tensor momento-energia eletromagnético

$T_{ab}=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{a}{}^{s}F_{sb}+{1 \over 4}F_{st}F^{st}g_{ab})$

é usado, então as equações de campo de Einstein são chamadas equações Einstein-Maxwell:

$R_{ab}-{1 \over 2}Rg_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}(\,F_{a}{}^{s}F_{sb}+{1 \over 4}F_{st}F^{st}g_{ab})\$

Ligações externas

• A Teoria da Gravitação de Einstein - As equações de campo de Einstein: o trabalho do físico relativista - OBSERVATÓRIO NACIONAL - www.on.br

Ver também

• Relatividade Geral
• Buraco Negro
• Singularidade gravitacional
• Equações de Friedmann