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Equações de Friedmann

As Equações de Friedmann são um conjunto de equações em cosmologia física que governam a expansão métrica do espaço em modelos homogêneos e isotrópicos do Universo dentro do contexto da Teoria Geral da Relatividade. Foram apresentadas por Alexander Friedman em 1922 [1] a partir das equações de campo de Einstein para a métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker e um fluido com uma densidade de energia () e uma pressão () dadas. As equações para curvatura espacial negativa foram dadas por Friedmann em 1924.[2]

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PressupostosEditar

As equações de Friedmann começam com a hipótese simplificadora de que o universo é espacialmente homogêneo e isotrópico, i.e. o Princípio Cosmológico; empiricamente, isto é justificado em escalas maiores que ~100 Mpc. O Princípio Cosmológico implica que a métrica do universo deve ser da forma:

 

onde   é uma métrica tridimensional que deve ser de um (a) espaço plano, (b) uma esfera de curvatura positiva constante ou (c) um espaço hiperbólico com curvatura negativa constante. O parâmetro   discutido abaixo toma o valor 0, 1, -1 nestes três casos, respectivamente. É este fato que nos permite falar de uma forma sensata de um "fator de escala",  .

As equações de Einstein agora relacionam a evolução deste fator de escala para a pressão e energia da matéria no universo. As equações resultantes são descritas abaixo.

EquaçõesEditar

As equações são:

 
 

onde   é a constante cosmológica possivelmente causada pela energia do vazio,   é a constante gravitacional,   é a velocidade da luz,   é o fator de escala do Universo e   é a curvatura gaussiana quando   (p.ex. hoje, na atualidade). Se a forma do universo é hiperesférica e   é o raio de curvatura (  no momento atual), então  . Geralmente,   é a curvatura gaussiana. Se   é positiva, então o Universo é hiperesférico. Se   é zero, o Universo é plano e se   é negativo o Universo é hiperbólico. Note-se que   e   são função de  . O parâmetro de Hubble,  , é a velocidade de expansão do universo.

Estas equações às vezes se simplificam redefinindo a densidade de energia e a pressão:

   

para obter:

 
 

O parâmetro de Hubble pode mudar no tempo se outros membros da equação são dependentes do tempo (em particular a densidade de energia, a energia do vazio e a curvatura). Avaliando o parâmetro de Hubble no momento atual resulta que a constante de Hubble que é a constante de proporcionalidade da lei de Hubble. Aplicado a um fluido com uma equação de estado dada, as equações de Friedmann dão como resultado a evolução no tempo e a geometria do Universo como função da densidade do fluido.

Alguns cosmólogos chamam à segunda destas duas equações a equação de aceleração e reservam o termo equação de Friedmann só para a primeira equação.

O parâmetro de densidadeEditar

O parâmetro de densidade,  , se define como a relação da densidade atual (ou observada)   relacionado à densidade crítica   do Universo de Friedmann. Uma expressão para a densidade crítica se encontra assumindo que   é zero (como é para todos os Universos de Friedmann básicos) e estabelecendo a curvatura   igual a zero. Quando se substituem estes parâmetros na primeira equação de Friedmann encontramos que:

 

E a expressão para o parâmetro de densidade (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) se obtém que é:

 

Este termo originalmente foi utilizado como uma maneira de determinar a geometria do campo no que   é a densidade crítica para a qual a geometria é plana. Assumindo uma densidade de energia do vazio nula, se   é maior que um, a geometria é fechada e o Universo eventualmente parará sua expansão e então se colapsará. Se   é menor que um, será aberto e o Universo se expandirá para sempre. Entretanto, também se podem sintetizar os termos de curvatura e da energia do vazio numa expressão mais geral para   no caso de que este parâmetro de densidade de energia seja exatamente igual à unidade. Então é uma questão de medir os diferentes componentes, normalmente designados por sub-índices. De acordo com o modelo Lambda-CDM, há importantes componentes de   devido a bárions, matéria escura fria e energia escura. A geometria do espaço-tempo foi medida pelo satélite WMAP estando próxima de ser uma geometria plana, o que quer dizer, que o parâmetro de curvatura   é aproximadamente zero.

A primeira equação de Friedmann frequentemente se escreve formalmente com os parâmetros de densidade.

 

Onde,   é a densidade de radiação atual,   é a densidade da matéria (escura mais a bariónica) atual e   é a constante cosmológica ou a densidade do vazio atual.

Equação de Friedmann reescaladaEditar

Estabelecendo   onde a_0 y H_0 são em separado o fator de escala e o parâmetro de Hubble atuais. Então podemos dizer que:

 

onde  . Para qualquer forma do potencial efetivo  , há uma equação de estado   que a produzirá.

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar

  1. Friedmann, A: Über die Krümmung des Raumes, Z. Phys. 10 (1922), 377-386. (Tradução para o inglês em: Gen. Rel. Grav. 31 (1999), 1991-2000.)
  2. Friedmann, A (1924). «Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes». Z. Phys. 21: 326–332. doi:10.1007/BF01328280  (em alemão) (English translation in: Friedmann, A (1999). «On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space». General Relativity and Gravitation. 31: 2001–2008. doi:10.1023/A:1026755309811 )