Equivalência lógica

Na lógica, afirmações e são logicamente equivalentes se tiverem o mesmo conteúdo lógico. Isto é, se elas tiverem o mesmo valor de verdade em todos os modelos.[1] A equivalência lógica de e às vezes é expressa como , , ou . No entanto, esses símbolos também são usados para equivalência material. A interpretação adequada depende do contexto. A equivalência lógica é diferente da equivalência material, embora os dois conceitos estejam intimamente relacionados.

Equivalências lógicasEditar

Equivalência Nome
 
 
Identidade
 
 
Dominação
 
 
Idempotência
  Dupla negação
 
 
Comutatividade
 
 
Associatividade
 
 
Propriedade

distributiva

 
 
Leis de De Morgan
 
 
Absorção
 
 
Negação

Equivalências lógicas envolvendo afirmações condicionais:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  

Equivalências lógicas envolvendo bicondicionais:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

ExemploEditar

As afirmações a seguir são logicamente equivalentes:

  1. Se Lúcia está na Dinamarca, então ela está na Europa. (Em símbolos,  .)
  2. Se Lúcia não está na Europa, então ela não está na Dinamarca. (Em símbolos,  .)

Sintaticamente, (1) e (2) são deriváveis uns dos outros através das regras de contraposição e dupla negação. Semanticamente, (1) e (2) são verdadeiros exatamente nos mesmos modelos (interpretações, avaliações); ou seja, aqueles em que Lúcia está na Dinamarca é falsa ou Lúcia está na Europa é verdade.

(Observe que, neste exemplo, é assumida a lógica clássica. Algumas lógicas não clássicas não consideram (1) e (2) logicamente equivalentes.)

Relação com equivalência materialEditar

A equivalência lógica é diferente da equivalência material. Fórmulas   e   são logicamente equivalentes se e somente se a declaração de sua equivalência material ( ) é uma tautologia.[2]

A equivalência material de   e   (frequentemente escrita  ) é em si uma outra afirmação na mesma linguagem de objeto como   e  . Esta afirmação expressa a ideia "'  se e somente se  '". Em particular, o valor de verdade de   pode mudar de um modelo para outro.

A afirmação de que duas fórmulas são logicamente equivalentes é uma declaração na metalinguagem, expressando uma relação entre duas afirmações   e  . As afirmações são logicamente equivalentes se, em cada modelo, elas tiverem o mesmo valor de verdade.

Ver tambémEditar

NotasEditar

  1. Mendelson 1979:56
  2. Copi et at. 2014:348

ReferênciasEditar

  • Irving M. Copi, Carl Cohen, e Kenneth McMahon, Introduction to Logic, 14ª edição, Pearson New International Edition, 2014.
  • Elliot Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, segunda edição, 1979.
  • Mortari, C. A. (2001). Introdução à lógica. São Paulo: UNESP. ISBN 8571393370 
  • R. Scheinerman, Edward (2003). Matemática Discreta. Uma Introdução. São Paulo: Cengage. ISBN 8522102910