Espaço conexo

Em topologia e ramos relacionados da matemática, conexidade ^{(português brasileiro)} ou conectividade ^{(português europeu)} é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.

De cima para baixo: os espaços vermelho A, magenta B, amarelo C e laranja D são todos conexos, enquanto o espaço verde E (composto pelos subconjuntos E1, E2, E3 e E4) é desconexo. Para além disso, A e B são também simplesmente conexos (género 0), enquanto C e D não o são: C tem género 1 e D tem género 4.

Podemos ainda dizer que um conjunto $X$ é conexo quando não admite outra cisão além da trivial. Neste caso se existirem conjuntos abertos $A,B\subset X$ tais que $X=A\cup B$ com $A\cap B=\varnothing$ então $A=\varnothing$ ou $B=\varnothing .$

Observemos que um subconjunto $X$ admite uma cisão não-trivial quando existem conjuntos abertos $A,B\subset X$ tais que $X=A\cup B$ com $A\cap B=\varnothing .$ Neste caso dizemos que $X$ é desconexo.

Do ponto de vista da topologia dizemos que, um espaço topológico é desconexo se contém dois abertos complementares não vazios. Em caso contrário diz-se conexo.

Os subconjuntos $\varnothing$ e $X$ são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de $X.$ Se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então $X$ é conexo. Por outro lado, se existe $A$ aberto e fechado com $\varnothing \,\subset A\subset X,$ então $X$ é desconexo.

Definição Formal

Um espaço topológico $X$ é dito desconexo se for união de dois conjuntos disjuntos abertos não-vazios. Caso contrário, $X$ é dito conexo.

Propriedades

• Todo conjunto $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ admite pelo menos a cisão trivial $X=X\cup \varnothing .$
• A união de qualquer família de subespaços conexos de $X,$ cuja intersecção é não vazia, é um subespaço conexo de $X$'.
• A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo.
• Todo conjunto homeomorfo a um conjunto conexo é também um conjunto conexo.

Componentes conexas

• Uma componente conexa de um espaço topológico é um subespaço conexo maximal.

Exemplos

Um espaço conexo que não é conexo por arcos.

• $\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$ são conexos.
• $\mathbb {N} ,$ $\mathbb {Z}$ e $\mathbb {Q}$ são desconexos.
• No $\mathbb {R} ^{2},$ o gráfico da função

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\mbox{sen}}{\frac {1}{x}},&{\mbox{se }}x\neq 0\\0,&{\mbox{se }}x=0\end{matrix}}\right.$

é conexo. Este é o contra-exemplo padrão de um espaço conexo que não é conexo por arcos.

Ver também

• conexidade por arcos
• conexidade simples.

Referências

• Lima, Elon L. (2006), Curso de Análise Vol.2, ISBN 85-244-0049-8, Rio De Janeiro: IMPA .
• Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .

Bibliografia

• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise. Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: [s.n.]