Espaço hiperbólico

Em matemática, um espaço hiperbólico é um espaço homogêneo que possui uma curvatura negativa constante, onde neste caso a curvatura é a curvatura seccional.[1][2] É uma geometria hiperbólica em mais de 2 dimensões e distingue-se dos espaços euclidianos com curvatura zero que definem a geometria euclidiana e a geometria elíptica que possui uma curvatura positiva constante.[3]

Quando incorporado a um espaço euclidiano (de maior dimensão), todo ponto de um espaço hiperbólico é um ponto de sela.[4] Outra propriedade distintiva é a quantidade de espaço coberto pela bola n no espaço n hiperbólico: aumenta exponencialmente em relação ao raio da bola para raios grandes, em vez de polinomialmente.[5][6]

Definição formalEditar

N-espaço hiperbólico, denotado Hn, é o máximo simétrico, simplesmente conectado, variedade Riemanniana n-dimensional com uma curvatura seccional negativa constante.[7] O espaço hiperbólico é um espaço que exibe geometria hiperbólica. É o análogo da curvatura negativa da n-esfera.[8] Embora o espaço hiperbólico Hn é difeomórfico para Rn, sua métrica de curvatura negativa fornece propriedades geométricas muito diferentes.[9][10]

O espaço bidimensional hiperbólico,H2, também é chamado de plano hiperbólico.[11][12]

Referências

  1. Paupert, Julien (2016). «Introduction to Hyperbolic Geometry» (PDF) 
  2. «Hyperbolic Space». graphics.stanford.edu. Consultado em 13 de novembro de 2019 
  3. Munteanu, Ovidiu (3 de fevereiro de 2008). «On a characterization of the complex hyperbolic space». arXiv:0802.0307 [math] 
  4. «The Geometric Viewpoint | Hyperbolic Geometry» (em inglês). Consultado em 13 de novembro de 2019 
  5. WIELENBERG, NORBERT J. (1981). «THREE DIMENSIONAL HYPERBOLIC SPACES» 
  6. Cheung, Leung-Fu; Leung, Pui-Fai (1 de junho de 1998). «The mean curvature and volume growth of complete noncompact submanifolds». Differential Geometry and its Applications. 8 (3): 251–256. ISSN 0926-2245. doi:10.1016/S0926-2245(98)00010-2 
  7. Keng, Brian (17 de junho de 2018). «Hyperbolic Geometry and Poincaré Embeddings». Bounded Rationality (em inglês). Consultado em 13 de novembro de 2019 
  8. Siboni, Marguerite (17 de setembro de 2019). «Spheres, Planes and Hyperbolic Geometry». Medium (em inglês). Consultado em 13 de novembro de 2019 
  9. «Poincare Ball model — geoopt 0.1.1 documentation». geoopt.readthedocs.io. Consultado em 13 de novembro de 2019 
  10. CURRIER, ROBERT (1989). «ON HYPERSURFACES OF HYPERBOLIC SPACE INFINITESIMALLY SUPPORTED BY HOROSPHERES» (PDF) 
  11. Lamb, Evelyn. «Everything Looks Better in the Hyperbolic Plane». Scientific American Blog Network (em inglês). Consultado em 13 de novembro de 2019 
  12. Ringermacher, Harry I. «On a Bipolar Model of Hyperbolic Geometry and its Relation to Hyperbolic Robertson-Walker Space» (PDF). Dept. of Physics and Astronomy, University of Southern Mississippi 
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