Espaços de Hölder

Em matemática, sobretudo na análise funcional e na teoria das equações diferenciais, os espaços de Hölder espaços vectoriais formados por funções contínuas que apresentam certas condições adicionais de regularidade. O espaço tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder.

Mais do que simplesmente classes de regularidade, os espaços de Hölder por si mesmos possuem propriedades algébricas importantes: são espaços normados completos na métrica induzida por sua norma, ou seja, são espaços de Banach.


Definição e notaçãoEditar

Seja   um conjunto aberto e   um número real. Uma função   é dita Hölder-contínua com expoente   se existir uma constante real   tal que:

 

Observe que se   o critério coincide com o de função Lipschitz contínua.

Neste caso, podemos definir a  -ésima semi-norma de Hölder como o ínfimo das constantes   com a propriedade acima, ou, ainda:

 

Se   for ainda uma função limitada em  , então a norma do supremo está bem definida:

 

E a  -ésima norma de Hölder é, então, definida como:

 

O espaço de Hölder   consiste de todas as funções   que pertencem ao espaço   das funções k vezes continuamente diferenciáveis para as quais a norma:

 

onde   é um multi-índice, sua ordem é dada por:

 

E a derivada de ordem   é dada por:

 

ReferênciasEditar