Espaços normados

espaço vetorial no qual está definida uma norma

Em matemática, um espaço vetorial normado ou simplesmente espaço normado é um espaço vetorial munido de uma norma. A norma é a generalização do conceito de "tamanho" de vetor, sempre presente canonicamente no caso do espaço tridimensional .

Espaços normados são exemplos de espaços métricos e espaços normados completos são chamados de espaços de Banach. Essas estruturas encontram aplicações em diversas áreas da matemática e física, com alguns exemplos sendo equações diferenciais, teoria da medida e integração numérica.

O conceito foi proposto por Stefan Banach[1], Hans Hahn[2] e Norbert Wiener[3], de maneira independente, em 1922.

DefiniçãoEditar

Seja   um espaço vetorial real ou complexo. Uma função   é uma norma se ela satisfaz as propriedades a seguir.[4]

  1.   para todo   e   (Positividade e não degenerescência);
  2.   para todos   escalares e   (Homogeneidade);
  3.   para todos   (Desigualdade triangular).

Nesse caso,   é dito ser um espaço normado. Pelas propriedades acima, é possível ver que

 

define uma métrica em  , fazendo de todo espaço normado, em particular, um espaço métrico. Espaços normados que são completos, na métrica induzida pela norma, são chamados de espaços de Banach.[4]

As operações de soma   e produto por escalar   são contínuas em qualquer espaço normado. Logo, espaços normados são casos particulares de espaços vetoriais topológicos.[4]

Exemplos de Espaços NormadosEditar

1) O espaço vetorial   munido da norma euclidiana

 ,

onde  .

2) O espaço vetorial   munido da norma- 

 ,

onde   e  

3) O espaço vetorial   das sequências  somáveis, munido da norma

 .

Métricas induzidasEditar

Se um espaço vetorial   é normado, a função   definida por

 

é uma métrica em  , chamado de métrica induzida pela norma. Reciprocamente, se   é um espaço vetorial e um espaço métrico, cuja métrica satisfaz

  e

 

para todos   e   escalar, então existe uma norma   em   que induz a métrica  . A dizer,

 .

Operadores lineares limitadosEditar

Sejam   espaços normados e   um operador linear. Dizemos que   é limitado se existe  

 .

Nesse caso, definimos a norma de operador de   por

 .[5]

O conjunto dos operadores limitados  , geralmente denotado  , é um subespaço do conjunto dos operadores lineares   e a norma de operador é de fato uma norma em  . Caso   seja um espaço de Banach,   também é um espaço de Banach.[5] Em particular, o dual topológico   de qualquer espaço normado  é completo.

As seguintes afirmações a respeito do operador linear   são equivalentes[4][5]:

  •   é limitado;
  •   é contínuo;
  •   é contínuo em um ponto  ;
  •   é uniformemente contínuo;
  •   é Lipschitziano;
  •  ;
  •   leva conjuntos limitados (em  ) em conjuntos limitados (em  ).

Importante frisar que a definição de limitação como acima é diferente da vista em cursos de cálculo e na teoria de espaços métricos, onde uma função limitada é aquela cuja imagem é um subconjunto limitado do contradomínio.

Se um operador linear   é bijetor e tal que

 ,

  é dito ser um isomorfismo entre espaços normados, uma vez que ele preserva tanto a estrutura de espaço vetorial quanto a norma. Nesse caso,   e   são isomorfos.

ExemplosEditar

1) Dado   espaço normado, a identidade   é um operador linear limitado.

2) Dados   espaço normado e  , a translação  , dada por  , é uma transformação linear limitada.

3) Dado o espaço  , considere as funções   e   dadas por

  e  ,

onde   Tais funções são exemplos de transformações lineares limitadas.

4) O operador diferencial  , dado por

 

constitui um exemplo de um operador linear que não é limitado.

Normas equivalentesEditar

Sejam   um espaço vetorial e   duas normas nele. Caso   induzam a mesma topologia, as duas normas são chamadas de equivalentes.

Duas normas   são equivalentes se, e somente se, existem   tais que

 .[5]

Além disso, as sequências de Cauchy em   e   são as mesmas.[5] Note que as desigualdades acima mostram que duas normas são equivalentes se, e só se, a identidade

 

é um isomorfismo entre espaços normados.

Num espaço de dimensão finita, quaisquer duas normas são equivalentes.[5]

Exemplos de Normas EquivalentesEditar

1) Dados  , tem-se que as normas   e  , quando definidas em  , são equivalentes. Aqui,

 , onde  .

2) Mais geralmente, é válido que quaisquer normas em  , por se tratar de um espaço vetorial de dimensão finita.

Norma canônica de um espaço vetorialEditar

Enquanto é trivial definir uma norma num espaço vetorial de dimensão finita (todo espaço de dimensão finita é isomorfo a   ou  ), a construção de uma norma para o caso de um espaço vetorial de dimensão infinita não é trivial. Entretanto, sempre é possível a definição de uma norma em qualquer espaço vetorial.

Uma das consequências do lema de Zorn é que todo espaço vetorial   sobre   possui uma base (de Hamel)  . Por definição, isso significa que todo vetor   pode ser decomposto unicamente por

 ,

onde   é finito e  . Define-se então

 

Tal função é de fato uma norma em  , chamada de norma canônica.

Referências

  1. Banach, Stefan (1922). «Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales». Fundamenta Math 
  2. Hahn, Hans (1922). «Über Folgen linearer Operationen». Monatshefte Math. Phys. 
  3. Wiener, Norbert (1922). «Limit in terms of continuous transformation». Bull. Soc. Math. France 
  4. a b c d Botelho, Geraldo; Pellegrino, Daniel; Teixeira, Eduardo (2011). Fundamentos de Análise Funcional. [S.l.: s.n.] 
  5. a b c d e f Kreyszig, Erwin (1989). Introductory Functional Analysis with Applications. [S.l.]: John Wiley & Sons