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== Definição ==
Como comparação, uma sequência de funções <math>f_n(x): S \rightarrow \R\,</math> converge pontualmente para uma função <math>f: S \rightarrow \R\,</math> se, e somente se:
: <math>\forall \varepsilon > 0 \text{ e } \forall x \in S \ \ \exists N \in \mathbb{N} \text{ tal que } \forall n > N \text{ temos que } |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon\,</math>.
A sequência '''converge uniformemente''' quando:
Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um ''N'' para cada <math>\varepsilon\,</math> e cada ''x''. Para provar a '''convergência uniforme''', é preciso escolher, para cada <math>\varepsilon\,</math> um ''N'' que se aplica a todo ''x''.
É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convergência na [[norma do supremo]].
É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convergência na [[norma do supremo]]. Mais precisamente, consideremos o conjunto das funções <math display="inline">\phi: S \rightarrow \R\,</math> que são [[Função limitada|limitadas]], que designaremos por <math display="inline">\mathcal{B(S,\mathbb{R}})</math>. Munido das operações de soma de funções e de produto de um escalar real por uma função, este conjunto torna-se num espaço vetorial real (que é, aliás, subespaço do espaço vetorial das funções reais <math>\mathcal{F}(S,\mathbb{R)}</math>). Através da relação <math>\lVert \phi \rVert_\infty=\sup\{|\phi(x)|:x\in S\}</math> definimos uma aplicação <math>\phi\mapsto\lVert \phi \rVert</math> de <math>\mathcal{B(S,\mathbb{R}})</math> em <math>\mathbb{R}</math> que constitui uma [[Norma (matemática)|norma]] em <math>\mathcal{B(S,\mathbb{R}})</math> e que é chamada norma do supremo. É conhecido que para esta norma, <math>\mathcal{B(S,\mathbb{R}})</math> é um [[espaço de Banach]]<ref>{{citar livro|título=Aplicações da Topologia à Análise|ultimo=Honig|primeiro=Chaim Samuel|editora=IMPA-CNPq|ano=1976|local=Brasília|página=33.}}</ref><ref name=":0" /> (p.170).
== Convergência uniforme e integrais == ▼De notar que se <math>f_n</math> é uma sucessão de funções em <math>\mathcal{B(S,\mathbb{R}})</math> que converge uniformemente para <math>f</math>, então também <math>f\in\mathcal{B(S,\mathbb{R}})</math>. Basta ter em conta que para cada <math>x\in S</math> e cada <math>k\in\mathbb{N}</math>, <math display="inline">|f(x)|\leqslant|f(x)-f_k(x)|+|f_k(x)|</math>. Fixando <math>k</math> arbitrariamente, resulta então, para qualquer <math>x\in S</math> que <math display="inline">|f(x)|\leqslant\lVert f-f_k \rVert_\infty+\lVert f_k \rVert_\infty</math>. Logo <math>f</math> é limitada em <math>S</math>.
Seja <math>f_n(x)\,</math> funções integráveis convergindo uniformemente para <math>f(x)\,</math>, então <math>f\,</math> é integrável e:
:<math>\int_{a}^{b}f_n(x) \, \mathrm{d}xdx \to \int_{a}^bf(x) dx\, \mathrm{d}x</math> .▼Esteeste resultado é válido tanto para a [[integral de Riemann]] como para a [[integral de Lebesgue]]. ▼
== Continuidade e diferenciabilidade==
*A convergência uniforme preserva a continuidade, ou seja, o limite uniforme de uma seqüência de funções contínuas é uma função contínua. ▼Tomemos agora <math>S</math>, não como um simples conjunto mas como um [[espaço topológico]] qualquer.
*Seja <math>f_n:S\rightarrow\mathbb{R}</math> uma sucessão de funções contínuas em <math>c\in S</math> que converge uniformemente para <math>f</math> em <math>S.</math> Então <math>f</math> é contínua em <math>c</math><ref name=":0">{{citar livro|título=Espaços Métricos|ultimo=Lima|primeiro=Elon Lages|editora=IMPA-CNPq|ano=1977|local=Brasília|página=|isbn=9-216-05110-8}}</ref> (p 132).
▲*A convergência uniforme preserva a continuidade, ou seja, o limite uniforme de uma seqüência de funções contínuas é uma função contínua.
Se <math>S</math> for um [[espaço métrico]] [[Espaço compacto|compacto]], como por exemplo um intervalo limitado e fechado <math>[a,b]</math>, uma relação mais específica entre continuidade e convergência uniforme foi estabelecida por [[Ulisse Dini]] no teorema seguinte o qual é apresentado com maior detalhe por E. L. Lima em<ref name=":0" /> (p.211).
=== Teorema (de Dini) ===
Seja <math>f_n:S\rightarrow\mathbb{R}</math> uma sucessão de funções contínuas em <math>S</math> que em cada ponto de <math>x\in S</math> cresce (ou decresce) para <math>f(x)</math> e <math>f</math> é também contínua em <math>S</math>, então <math>f_n</math> converge unformemente para <math>f</math> em <math>S</math>.
Para o caso de ser <math>S=[a,b]</math>, uma demonstração diferente é apresentada D. G. Figueiredo<ref>{{citar livro|título=Análise I|ultimo=Figueiredo|primeiro=Djairo Guedes de|editora=LTC|ano=1996|local=Rio de Janeiro|página=199}}</ref>.
== Diferenciabilidade ==
Seja <math>S=I\subset\mathbb{R}</math> um intervalo da reta real.
*Observe no entanto que a diferenciabilidade não é preservada, podendo uma seqüência de [[Derivada|funções deriváveis]] convergir uniformemente para uma função contínua que não é diferenciável em nenhum ponto. Um exemplo desta [[patologia (matemática)]] é a construção da [[função de Weierstrass]]. De fato, qualquer função contínua pode ser aproximada uniformemente por funções suaves, veja [[teorema de Stone-Weierstrass]].
*Pode acontecer de <math>f_n(x)\,</math> convergir uniformemente e <math>f_n'(x)\,</math> [[convergência pontual|pontualmente]] mas o limites das derivadas ser diferente da derivado do limite. Exemplo:
:<math>f_n(x)=\frac{x}{1+n^2x^2}, x\in[-1,1]</math>
Como <math>|f_n(x)|\leq \frac{1}{2n}\,</math>, <math>f_n\,</math> convergeconvege uniformemente para zero. A derivado do limite é, portanto, zero. Mas o limites das derivadas é:
:<math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x) = \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2x^2}{\left(1+n^2x^2\right)^2}=\left\{
*Para preservar a diferenciabilidade, precisamos de mais hipóteses sobre a convergência das derivadas, tal como convergência uniforme. Veja [[espaço de Hölder]].
▲== Convergência uniforme e integrais ==
Coloquemo-nos agora perante a norma do supremo em <math>\mathcal{B([a,b],\mathbb{R}})</math>e atentemos previamente nos três exemplos seguintes.
=== Exemplo 1 ===
Designemos por <math>q_1,q_2,...,q_n,...</math>, a sucessões dos racionais no intervalo <math>[0,1]</math> e consideremos a sucessão de funções neste intervalo definida através de:
<math>f_n(x)= \begin{cases} 1, & \text{se }x\in \{q_1,...,q_n\} \\0, & \text{se }x\in[0,1]\setminus\{q_1,...,q_n\}.\end{cases}</math>
Trata-se de uma sucessão de funções limitadas, cada uma apenas com um número finito de descontinuidades, logo integráveis à Riemann. Para cada <math>x\in[0,1]</math>, a correspondente função limite <math>f(x)=\lim_{n \to \infty}f_n(x)</math> é a função de Dirichlet
<math>f(x)= \begin{cases} 1, & \text{se }x\in \mathbb{Q} \\0, & \text{se }x\in[0,1]\setminus\mathbb{Q},\end{cases}</math>
a qual como é conhecido não é integrável à Riemann.
Por outro lado, <math>\lVert f_n-f \rVert_\infty=\sup\{|f_n(x)-f(x)|:x\in [a,b]\}=1</math>, qualquer que seja <math>n\in\mathbb{N}</math>. Logo a convergência não é uniforme, mas apenas pontual.
=== Exemplo 2 ===
Seja
<math>f_n(x)= \begin{cases} 1+x+...+x^n, & \text{se }x\in [0,1[, \\0, & \text{se }x=1.\end{cases}</math>
Trata-se de uma sucessão de funções limitadas em <math>[0,1]</math> (<math>0 \leq f_n(x) \leq n</math>, para cada <math>x\in[0,1]</math>) com apenas uma descontinuidade em <math>x=1</math>, consequentemente integráveis. Contudo, a função limite é dada por
<math>f_n(x)= \begin{cases} 1/(1-x), & \text{se }x\in [0,1[, \\0, & \text{se }x=1,\end{cases}</math>
a qual nem sequer é limitada, não podendo portanto haver convergência uniforme.
=== Exemplo 3 ===
Mas para <math>f_n(x)=x/n</math>, com <math>x</math> em <math>[0,1]</math>, temos uma sucessão de funções contínuas, em que a função limite é a função identicamente nula, obviamente integrável, sendo
<math>\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1} \frac{x}{n}dx=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2n}=0.</math>
Observe-se que neste caso a convergência é uniforme pois
<math>\lVert f_n-f \rVert_\infty=\sup\{\frac{x}{n}:x\in [0,1]\}=\frac{1}{n}\rightarrow0</math>.
Isto é, apenas neste último exemplo, a função limite é integrável e tem-se a validade da seguinte fórmula
<math>\int_{a}^{b} (\lim_{n \to \infty} f_n)(x)\, \mathrm{d}x=\lim_{n \to \infty}\int_{a}^{b} f_n(x)\, \mathrm{d}x.</math>
Precisamente, o que sucede neste exemplo e não sucede nos outros, é que há convergência uniforme da sucessão de funções <math>f_n</math> para a função limite <math>f</math>. Na verdade, é válido o teorema seguinte.
=== Teorema 1 (da Convergência Uniforme) ===
Seja <math>f_n(x)</math> uma sucessão de funções integráveis em <math>[a,b]</math>, convergindo uniformemente para <math>f(x)\,</math>. Isto é, <math>f_n</math> é uma sucessão em <math>\mathcal{B([a,b],\mathbb{R}})</math> tal que <math>\lVert f_n-f \rVert_\infty\rightarrow0</math>. Então <math>f\,</math> é integrável em <math>[a,b]</math> e:
▲:<math>\int_{a}^{b}f_n(x)\, \mathrm{d}x \to \int_{a}^bf(x)\, \mathrm{d}x</math>.
▲Este resultado é válido tanto para a [[integral de Riemann]] como para a [[integral de Lebesgue]].
No caso do integral de Lebesgue a simples convergência pontual é suficiente para garantir a integrabilidade à Lebesgue.
Para o integral de Rieman temos de mostrar que o conjunto <math>D</math>, das descontinuidades de <math>f</math>, [[Integrabilidade à Riemann|tem medida de Lebesgue nula.]] Observemos que se <math>D_n</math> for o conjunto das descontinuidades de <math>f_n</math>, como a convergência uniforme conserva a continuidade, temos que <math display="inline">\bigcap_{n=1}^\infty([a,b] \setminus D_n) \subset [a,b] \setminus D</math>. Logo <math display="inline">D\subset \bigcup_{n=1}^\infty D_n</math>. Tendo o conjunto da direita, por via da integrabilidade à Riemann de cada função <math>f_n</math>, [[Medida de Lebesgue zero|medida de Lebesgue nula]], o mesmo sucede a <math>D</math>. Logo <math>f</math> é integrável à Riemann.
Por outro lado, a diferença
<math>|\int_{a}^{b}f_n(x)\, \mathrm{d}x-\int_{a}^bf(x)\, \mathrm{d}x| \leq \int_{a}^{b}|f_n(x)-f(x)|\, \mathrm{d}x \leq \lVert f_n-f \rVert_\infty (b-a)</math>
pelo que
<math>\lim_{n \to \infty}\int_{a}^{b} f_n(x)\, \mathrm{d}x=\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x.</math>
Este argumento é válido para os dois integrais.
== Ver também ==
{{esboço-matemática}}
[[Categoria:Topologia]]
[[Categoria:Espaços MétricosCálculo]]
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