Desarranjo: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Linha 29:
*O número de desarranjos na classe '''2''' deve ser igual ao número de desarranjos de um conjunto com <math>n-1\,</math> elementos para cada possível posição que o enésimo elemento pode assumir, ou seja: <math>(n-1)d_{n-1}\,</math>. Para chegar a esta conclusão, observar que se o enésimo elemento assume a posição '''k''', podemos permutar '''k''' com '''n''' e realizar os desaranjos no conjunto <math>\{1,2,\ldots,k-1,k+1,k+2,\ldots,n-1,k\}</math>.
A seqüência dos subfatoriais é, portanto, unicamente determinada pela sua relação de recorrência
*<math>\left\{
\begin{array}{l}
Linha 36:
d_n= (n-1) \left(d_{n-1}+d_{n-2}\right)
\end{array}\right.</math>
==Relação com o fatorial==
É importante observar que o [[fatorial]], <math>n!\,</math> satisfaz a mesma relação, já que:
*<math>(n-1)\left[(n-1)!+(n-2)!\right]=(n-1)(n-1)!+(n-1)!=n(n-1)!=n!</math>
Assim, é natural definir:
*<math>f_n= \frac{d_n}{n!}</math>
A seqüência <math>f_n\,</math>, assim definida satisfaz:
*<math>f_n-f_{n-1}= -\frac{1}{n}\left(f_{n-1}-f_{n-2}\right)</math>
Introduzimos, então, mais uma seqüência, <math>g_n=f_n-f_{n-1}</math>, que satisfaz:
*<math>g_n= -\frac{1}{n}g_{n-1}</math>
Como <math>g_2=f_2-f_1=d_1-\frac{1}{2}d_2=-\frac{1}{2}</math>, é fácil ver que:
*<math>g_k= \frac{(-1)^{k}}{k!},~~n\geq 2 </math>
E, portanto,
*<math>
\begin{array}{rcl}
f_n&=& f_1 + (f_2-f_1) + (f_3-f_2)+ \ldots (f_n-f_{n-1})\\
&=& 0 + g_2 + g_3 + \ldots + g_n \\
&=& \displaystyle\sum_{k=2}^{n} g_k = \sum_{k=2}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!}
\end{array}
</math>
Assim, obtemos, uma expressão para <math>!n\,</math>
*<math>!n=d_n=n! f_n = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{n!}{k!} </math>
[[categoria:Combinatória]]
| |||