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Desarranjo: diferenças entre revisões

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Linha 64:
podemos escrever:
*<math>!n=d_n \frac{n!}{e}-\sum_{k=n+1}^{\infty}(-1)^{k}\frac{n!}{k!} </math>
O termo mais direita pode ser estimado viapelo [[teste da série alternada]]:
*<math>\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}(-1)^{k}\frac{n!}{k!}\right|&\leq& \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{n!}{k!}=\frac{1}{n+1}\left[1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\ldots\right]\\ </math>▼
*<math>\begin{array}{rcl}
E assim, temos:
▲\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}(-1)^{k}\frac{n!}{k!}\right|&\leq& \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{n!}{k!}=\frac{1}{n+1}\left[1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\ldots\right]\\
&*<math>\leq&left|!n- \frac{1n!}{n+1e}\left[1+right|\leq \frac{1}{n+21}+\frac{<1}{(/2,~~ n+\geq 2)^2}+\ldots\right] </math>
E portanto é fácil concluir que
=\frac{1}{n+1}\left[\frac{1}{1-(n+2)^{-1}}\right]= \frac{n+2}{(n+1)^2}\\&=&\frac{1}{n}\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}<\frac{1}{n}
*<math>!n= \left[\frac{n!}{e}\right] </math>
\end{array}
onde <math> \left[x\right] </math> representa o inteiro mais próximo de <math>x\,</math>.
</math>
 
 
Obtida de "https://pt.wikipedia.org/wiki/Desarranjo"