Teoria das perturbações

 Nota: Se procura pelo conceito da física quântica, veja teoria perturbacional.

Na matemática, a teoria das perturbações é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "proximo" do problema original. A teoria das pertubações é aplicada para resolver diversos problemas comoequações algébricas, equações diferenciais e problemas de autovalores.

Exemplo

Considere a equação do segundo grau:

$x^{2}-\varepsilon x-1=0\,$

Quando $\varepsilon =0\,$, esta equação possui duas raízes, $x=1\,$ e $x=-1\,$. Quando $\varepsilon \neq 0\,$, suas raízes podem ser obtidas exatamente pela fórmula de Bhaskara:

${\begin{array}{rcl}x_{1}&=&{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon +{\sqrt {4+\varepsilon ^{2}}}\right)\\x_{2}&=&{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon -{\sqrt {4+\varepsilon ^{2}}}\right)\end{array}}\,$

O termo com o radical pode ser expandido em série de Taylor:

${\frac {1}{2}}{\sqrt {4+\varepsilon ^{2}}}={\sqrt {1+\left(\varepsilon /2\right)^{2}}}=1+{\frac {1}{4}}\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})$

E assim, obtemos aproximações de primeira ordem para as raízes:

${\begin{array}{rcl}x_{1}&=&1+{\frac {3}{4}}\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})\\x_{2}&=&-1+{\frac {1}{4}}\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})\end{array}}\,$

Nesta caso, o uso da fórmula de Bhaskara permite calcular diretamente as aproximações. Poderíamos no entando ter encontrar essas aproximações supondo que cada raíz x depende analiticamente do parâmetro $\varepsilon \,$:

${\begin{array}{rcl}x_{1}&=&1+a_{1}\varepsilon +a_{2}\varepsilon ^{2}+\cdots \\x_{2}&=&-1+b_{1}\varepsilon +b_{2}\varepsilon ^{2}+\cdots \end{array}}\,$