Diferenças entre edições de "Teoria das perturbações"

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O termo com o radical pode ser expandido em [[série de Taylor]]:
:<math>\frac{1}{2}\sqrt{4+\varepsilon^2}=\sqrt{1+\left(\varepsilon/2\right)^2}=1+\frac{1}{48}\varepsilon^2+O(\varepsilon^24)</math>
E assim, obtemos aproximações de primeirasegunda ordem para as raízes:
:<math>
\begin{array}{rcl}
x_1&=& 1+\frac{31}{42}\varepsilon+\frac{1}{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^24)\\
x_2&=& -1+\frac{1}{42}\varepsilon-\frac{1}{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^24)
\end{array}
\,</math>
 
NestaNeste caso, o uso da fórmula de Bhaskara permite calcular diretamente as aproximações. Poderíamos no entando ter encontrar essas aproximações supondo que cada raíz '''x''' depende [[função analítica|analiticamente]] do parâmetro <math>\varepsilon\,</math>:
:<math>
\begin{array}{rcl}
x_1x&=&1a_0 + a_1\varepsilon+a_2\varepsilon^2+\cdots\\
x_2&=&-1 + b_1\varepsilon+b_2\varepsilon^2+\cdots
\end{array}
\,</math>
Substituindo esta expressão na equação original, obtemos:
<!--
:<math>
Neste caso, obtemos a mesma aproximação de primeira ordem ao substituir da equação a aproximação <math>x_1=1 + a_1\varepsilon+O(\varepsilon^2)\,</math>:
\begin{array}{rcl}
:<math>\left(a_0^2-1 \right)+ a_1a_0\varepsilon+Oleft(\varepsilon^2)2a_1-1\right)^2-\varepsilon+ \left(1 2a_0a_2+ a_1^2-a_1\right)\varepsilon^2+O(\varepsilon^23)\right)+1=0\,</math>
que se simplifica como:
\end{array}
:<math>2a_1\varepsilon-\varepsilon+O(\varepsilon^2)=0\,</math>
\,</math>
-->
Coletando os termos de mesma ordem, o mesmo resultado é obtido.
 
 
[[categoria:Teoria das aproximações]]