Teoria das perturbações: diferenças entre revisões
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Linha 57:
:<math>
\begin{array}{rcl}
\left[a_0^3
\right]+\left[a_1(3a_0^2-1)+1\right]\varepsilon+\left[3a_1^2a_0+3a_0^2a_2-a_2\right]\varepsilon^2=O(\varepsilon^3)\\
\end{array}
\,</math>
Igualando a zero os termos de mesma ordem em <math>\varepsilon\,</math>, obtemos:
:<math>
\begin{array}{rcl}
x_1&=&-1-\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{3}{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^3)\\
x_2&=&0+\varepsilon+O(\varepsilon^3)\\
x_3&=&1-\frac{1}{2}\varepsilon-\frac{3}{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^3)\\
\end{array}
\,</math>
==Aplicação a uma equação diferencial ordinária==
Condire o problema de valor inicial não linear:
:<math>
\left\{
\begin{array}{rcl}
u'(x) + u(x)&=& \varepsilon u^3(x),x>0 \\
u(0)&=&1
\end{array}
\right.
\,</math>
Procurando soluções da forma:
:<math>u(x)=u_0(x)+\varepsilon u_1(x)+O(\varepsilon^2)\,</math>
encontramos:
:<math>
\left\{
\begin{array}{rcl}
u_0'(x) + u_0(x)&=& 0,x>0 \\
u_0(0)&=&1
\end{array}
\right.
\,</math>
e
:<math>
\left\{
\begin{array}{rcl}
u_1'(x) + u_1(x)&=& u_0^3,x>0 \\
u_1(0)&=&0
\end{array}
\right.
\,</math>
Cujas soluções são:
:<math>
\begin{array}{rcl}
u_0(x)&=&e^{-x}\\
u_1(x)&=&\frac{1}{2}\left(1-e^{-2x}\right)e^{-x}
\end{array}
\,</math>
Isto produz uma aproximação de <math>u(x)\,</math> da forma:
:<math>
u(x)=e^{-x}+\varepsilon \frac{1}{2}\left(1-e^{-2x}\right)e^{-x}+O(\varepsilon^2)
\,</math>
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