Teoria das perturbações: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Linha 115:
u(x)=e^{-x}+\varepsilon \frac{1}{2}\left(1-e^{-2x}\right)e^{-x}+O(\varepsilon^2)
\,</math>
==Um problema singular aplicado a uma equação diferencial ordinária==
Considere o seguinte problema de valor de contorno:
:<math>
\left\{
\begin{array}{l}
-\varepsilon^2u''(x)+u(x)=f(x),~~ 0<x<1\\
u(0)=u(1)=0
\end{array}
\right.
\,</math>
Aqui, <math>f(x)\,</math> é uma [[função suave]] e o parâmetro <math>\varepsilon\,</math> é positivo. Da [[teoria de Sturm-Liouville]], inferimos que o problema possui uma solução única para cada <math>\varepsilon>0\,</math>, mas quando <math>\varepsilon=0\,</math>, a equação diferencial se transforma na igualdade <math>u(x)=f(x)\,</math>, o que pode ser imcompatível com os valores de <math>f(x)\,</math> nos pontos <math>x=0\,</math> e <math>x=1\,</math>. Para resolver esse problemas, escrevemos <math>u(x)\,</math> como a soma de três termos:
:<math>u(x)=f(x)+v(x)+\varepsilon^2w(x)\,</math>
onde <math>v(x)\,</math> e <math>w(x)\,</math> são soluçãos dos seguintes problemas de contorno:
:<math>
\left\{
\begin{array}{l}
-\varepsilon^2v''(x)+v(x)=0,~~ 0<x<1\\
v(0)=-f(0)~~~v(1)=-f(1)
\end{array}
\right.
\,</math>
e
:<math>
\left\{
\begin{array}{l}
-\varepsilon^2w''(x)+w(x)=f''(x),~~ 0<x<1\\
w(0)=0~~~w(1)=0
\end{array}
\right.
\,</math>
A primeira equação pode ser resolvida exatamente:
:<math>
v(x)=\frac{f(0)}{e^{2/\varepsilon}-1}\left[e^{x/\varepsilon}-e^{(x-2)/\varepsilon}\right]+\frac{f(1)}{e^{2/\varepsilon}-1}\left[e^{(x-1)/\varepsilon}-e^{(x+1)/\varepsilon}\right]
\,</math>
A segunda equação pode ser estimada usando o princípio do máximo:
:<math>
|w(x)|\leq \sup_{[0,1]}|f''(x)|
\,</math>
E assim obtemos uma aproximação para <math>u(x)\,</math>:
:<math>u(x)=f(x)+\frac{f(0)}{e^{2/\varepsilon}-1}\left[e^{x/\varepsilon}-e^{(x-2)/\varepsilon}\right]+\frac{f(1)}{e^{2/\varepsilon}-1}\left[e^{(x-1)/\varepsilon}-e^{(x+1)/\varepsilon}\right]
+O(\varepsilon^2)\,</math>
| |||