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==Equivalências, eliminação, e introdução==
As seguintes equivalencias podem ser deduzidas, escritas com [[operadores lógicos]], na notação matemática:
<br /><br />
: <math>\begin{matrix}
p \oplus q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) = p\overline{q} \oplus \overline{p}q \\
Linha 53:
& = & (p \lor q) & \land & \lnot (p \land q) = (p \oplus q)(\overline{pq})
\end{matrix}</math>
<br />
o Valor do '''XOR''' é verdadeiro quando o números de 1's é ímpar.
A disjunção exclusiva <math>p \oplus q\!</math> pode ser expressa em termos da conjunção <math>(\land)</math>, da disjunção <math>(\lor)</math>, e da negação <math>(\lnot)</math>, como segue:
<br /><br />
: <math>\begin{matrix}
p \oplus q & = & (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)
\end{matrix}</math>
<br />
A disjunção exclusiva <math>p \oplus q\!</math> também pode ser expressa da seguinte maneira:
<br /><br />
: <math>\begin{matrix}
p \oplus q & = & \lnot (p \land q) \land (p \lor q)
\end{matrix}</math>
<br />
Esta representação do XOR pode ser útil para a construção de um circuito ou uma rede, porque ela possui um único operador de negação <math>(\lnot)</math> e um pequeno número de operadores OR <math>(\lor)</math> e AND<math>(\land)</math>. Como é mostrado abaixo:
<br /><br />
: <math>\begin{matrix}
p \oplus q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\
Linha 78:
& = & \lnot (p \land q) & \land & (p \lor q)
\end{matrix}</math>
<br />
As vezes também é util escrever ''p'' XOR ''q'' da seguinte maneira:
<br /><br />
: <math>\begin{matrix}
p \oplus q & = & \lnot ((p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q))
\end{matrix}</math>
<br />
Esta equivalência pode ser estabelecida aplicando a [[Leis_De_Morgan|Lei de De Morgan]] duas vezes na quarta linha da prova acima.
Linha 162:
O XOR também é usado para misturar funções na [[criptografia]], como por exemplo no [[One-time_pad|One-time Pad]].
O XOR também tem sua utilidade na segurança da informação armazenada em discos rígidos. A técnica [[RAID]] 3-6 usa o conceito lógico do operador XOR para em caso de falha em um dos discos, os dados sejam reconstituídos aplicando XOR ao dado armazenado no disco de backup. Pode-se dizer que o XOR realiza uma operação reversível, pois se aplicarmos <math>A \oplus B</math> e reaplicarmos o XOR no resultado com o mesmo B, teremos A, como vemos a seguir: <br />
<math> ( A \oplus B ) \oplus B \equiv A </math> <br />
E é baseado na reversibilidade da operação XOR que a técnica recupera os dados armazenados no disco de backup.
Linha 171:
==Descrição do hardware==
As portas XOR são portas lógicas básicas que são reconhecidas na [[Transistor-Transistor Logic|TTL]] e nos [[Circuito integrado|circuitos integrados]] [[CMOS]].<br />
Existem [[circuitos integrados|Circuito Integrado]] que utilizam a lógica do XOR, sendo que esta mesma lógica pode ser expressa através dos circuitos [[NAND]], [[NOU_(NOR)|NOR]] e NOT.<br /><br />
Abaixo temos um exemplo de um [[Circuito Integrado]] XOR, de duas entradas. <br />
<math>S = \overline{A}\cdot B + A \cdot \overline{B}</math>
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