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:<math>C\left(A+B\right)=CA+CB\,</math>
{{esboço-matemática}}
Elementos básicos para a construção de matrizes
Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:
N={1,2,3,4,5,6,7,...}
O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a e b são números naturais, isto é:
N×N={(a,b): a e b são números naturais }
Uma relação importante em N×N é:
Smn={(i,j): 1<i<m, 1<j<n}
Definição de matriz
Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa um número real (ou complexo).
Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.
a(1,1) a(1,2) ... a(1,n)
a(2,1) a(2,2) ... a(2,n)
... ... ... ...
a(m,1) a(m,2) ... a(m,n)
Definições básicas sobre matrizes
Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.
Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].
Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.
A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:
a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)
Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.
Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.
Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.
Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.
Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.
Exemplos de matrizes
Matriz 4x4 de números reais:
12 -6 7 18
-23 -24 0 0
0 0 5 0
0 0 0 9
Matriz 4x4 de números complexos:
12 -6+i 7 i
-i -24 0 0
0 0 5+i 5-i
0 0 0 9
Matriz nula com duas linhas e duas colunas:
0 0
0 0
Matriz nula com três linhas e duas colunas:
0 0
0 0
0 0
Matriz identidade com três linhas e três colunas:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:
23 0 0 0
0 -56 0 0
0 0 0 0
0 0 0 100
Matrizes iguais
Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é:
a(i,j) = b(i,j)
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:
1 2
3 4
= x-1 y-1
x+y x2
Soma de matrizes e suas propriedades
A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)], definida por:
c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.
-23 10
7 9
+ 10 5
8 9
= -13 15
15 18
Propriedades da soma de matrizes
A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
(A + B) + C = A + (B + C)
A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
A + B = B + A
A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:
0 + A = A
A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:
A + (-A) = 0
Multiplicação de escalar por matriz e suas propriedades
Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=k.A, definida por:
c(i,j) = k. a(i,j)
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo: A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida por:
-4 -2 10
7 9
= -8 -40
28 36
Propriedades da multiplicação de escalar por matriz
E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:
1.A = A
E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:
0.A = 0
E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:
k (A+B) = k A + k B
E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:
(p + q) A = p A + q A
Multiplicação de matrizes
Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz C=A.B, definida por:
c(u,v) = a(u,1) b(1,v) + a(u,2) b(2,v) + ... + a(u,m) b(m,v)
para todo par (u,v) em Smr.
Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:
multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
somar os quatro produtos obtidos anteriomente.
Assim:
c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24 b43
Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeira matriz, a coluna em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira matriz.
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
× b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
b41 b42 b43 b44
= c11 c12 c13 c14
c21 c22 c23 c24
c31 c32 c33 c34
c41 c42 c43 c44
Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.
Propriedades da multiplicação de matrizes
Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:
M1: Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que segue, onde A está cor vermelha e B em cor preta:
1 2 3
2 4 6
3 6 9
× 1 2
3 5
7 9
M2: Distributividade da soma à direita
A (B+C) = A B + A C
M3: Distributividade da soma à esquerda
(A + B) C = A C + B C
M4: Associatividade
A (B C) = (A B) C
M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:
0 1
0 0
× 0 2
0 0
= 0 0
0 0
M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:
0 1
0 0
× 0 5
0 0
= 0 2
0 0
× 0 5
0 0
mas as matrizes A e B são diferentes.
Matrizes com propriedades especiais
Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se:
Ak = 0
Uma matriz A é periódica de índice k natural, se:
Ak+1= A
Uma matriz A é idempotente, se:
A2 = A
As matrizes A e B são comutativas, se:
A B = B A
As matrizes A e B são anti-comutativas, se:
A B = - B A
A matriz identidade Id multiplicada por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o produto fizer sentido.
Id A = A
A matriz A será a inversa da matriz B, se:
A B = Id e B A = Id
A transposta de uma matriz e suas propriedades
Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz
At = [a(j,i)]
e segue que as linhas de A se transformam nas colunas de At.
Propriedades das matrizes transpostas
T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.
(At)t = A
T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz.
(kA)t = k (At)
T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.
(A + B)t = At + Bt
T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada.
(A B)t = Bt At
Matrizes simétricas e anti-simétricas e suas propriedades
Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que:
At = A
Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:
At = -A
Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricas
S1: Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.
S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A+At é simétrica.
S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A-At é anti-simétrica.
S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica S com uma matriz anti-simétrica T, isto é, A=S+T, e neste caso:
S =(1/2)(A + At) e T =(1/2)(A - At)
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