Teorema de Liouville (mecânica hamiltoniana): diferenças entre revisões
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O '''teorema de Liouville''' é um resultado da [[mecânica hamiltoniana]] sobre a evolução temporal de um sistema mecânico. Se considera-se um conjunto de partículas com condições iniciais próximas que podem representar-se no espaço de fases por uma região conexa, esta, apesar de que se expanda e se contraia a medida que cada partícula
== Introdução ==
Consideremos uma região do [[espaço fásico]] que evolua com o tempo ao deslocar-se sobre sua trajetória. Cada um de seus pontos se transforma ao cabo do tempo em uma região de forma diferente localizada, além disso, em outra parte do espaço fásico. O teorema de Liouville afirma que apesar da translação e a alteração de forma o "volume" total desta região permanecerá invariante. Além disso devido à continuidade da evolução temporal se a região é [[conjunto conexo|conexa]] inicialmente seguirá sendo conexa todo o tempo.
Quase todas as demostrações usam o fato de que a evolução temporal de uma "nuvem" de pontos no espaço fásico é de fato uma [[transformação canônica]] que alterará a forma e posição de tal nuvem, ainda que mantenha seu volume total.
=== Demonstração direta ===
Uma forma de ver provada que a evolução temporal é uma transformação canônica, coisa relativamente perceptível, e a partir daí calcular diretamente o determinante de tal [[alteração de coordenadas]], e provar que de fato o determinante de tal transformação é igual a 1, o qual prova a invariância do volume.
=== Demonstração baseada na forma simplética ===
Outra forma de provar o teorema é ter em conta que a forma de volume <math>{\eta}_\Gamma\;</math> do espaço fásico é o ''n''-ésimo produto da forma simplética, e que esta de acordo com o [[teorema de Darboux]] se expressa como produto de pares de variáveis canonicamente conjugadas:
:<math>{\eta}_\Gamma = \bigwedge_{i=1}^n \omega = \omega\land \dots \land \omega =
dp_1\land\dots \land dp_n\land dq_1 \land \dots \land dq_n =
dP_1\land\dots \land dP_n\land dQ_1 \land \dots \land dQ_n
</math>
De onde segue que o [[determinante]] da transformação é igual a 1 e, portanto:
:<math>\forall V\subset\Gamma: \quad
\int_V d^n\mathbf{q}d^n\mathbf{p} = \int_{\phi_\tau(V)} d^n\mathbf{Q}d^n\mathbf{P}</math>
Esta última expressão é essencialmente o enunciado do teorema de Liouville.
{{Em tradução|data=Março de 2008}}
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