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Linha 16:
Em cada ponto, o [[gradiente]] aponta para o vizinho que representar o maior incremento infinitesimal. O gradiente é um campo vectorial e seu domínio é um campo escalar.
:<math>\nabla f = \sum^i{ \left( \nabla\!_i f \right) \cdot \hat
Portanto o gradiente de <math>f</math> para três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é dado por:
Linha 28:
=== Divergente ===
A [[divergente]] (ou '''divergência''') é um campo escalar que recebe um campo vectorial como parâmetro:
:<math>\nabla \bullet \vec F = \sum^i{ \left( \nabla\!_i \vec F_i \right)}</math>
Portanto a divergência de <math>\vec F</math> para três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é dada pela seguinte soma:
:<math>\nabla \bullet \vec F = \frac{\partial
A [[convergente]] é a divergente com sinal trocado.
Linha 37:
=== Rotacional ===
A [[rotacional]] (ou '''rotor''') é o [[determinante]] entre três bases padrões, três componentes do vector del e três componentes dum campo vectorial.
:<math>\nabla \times \vec F = \sum^{ijk}{ \epsilon_{ijk} \cdot \hat e_i \cdot \left( \nabla\!_j \vec F_k \right)}</math>
=== Operações combinadas ===
Das nove possíveis simples combinações entre os operadores gradiente, divergente e rotor duas a duas, quatro são impossíveis, duas são triviais nulas (sempre resultam em zero) – restam três operadores dos quais um recebe um nome especial, que é o '''divergente do gradiente''' denominado '''laplaciano'''.
Linha 51:
|-----
! Gradiente do
| {{vermelho|(indefinido)}}
| '''[[Gradiente do divergente]]'''
| {{vermelho|(indefinido)}}
|-----
! Divergente do
| '''[[Laplaciano|Laplaciano escalar]]'''
| {{vermelho|(indefinido)}}
| {{laranja|(trivial nulo)}}
|-----
! Rotor do
| {{laranja|(trivial nulo)}}
| {{vermelho|(indefinido)}}
| '''[[Rotor do rotor]]'''
|-----
|}
A soma entre o laplaciano vectorial e o rotor do rotor dum campo escalar é igual ao gradiente da divergência do mesmo.
=== Laplaciano ===▼
▲==== Laplaciano ====
O [[laplaciano]] é o divergente do gradiente ou o [[traço (álgebra linear)]] da [[matriz hessiana]] dum campo escalar.
:<math>\nabla^2 f = \nabla \bullet \nabla f = \sum^i{ \left( \nabla\!_i \nabla\!_i f \right)} = \mbox{Sp}H_f</math>
Alguns livros usam a letra grega delta ao invés do tradicional nabla elevado ao quadrado.
Linha 79 ⟶ 81:
:<math>\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>
=== Laplaciano vectorial ===
Cada componente do '''laplaciano vectorial''' representa o laplaciano do respectivo componente do campo vectorial domínio.
:<math>\mathbf{\nabla^2 \vec F} = \sum^i{ \left( \nabla^2 \vec F_i \right) \cdot \hat e_i}</math>
Portanto o laplaciano vectorial de <math>\vec F</math> para três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é:
:<math>\mathbf{\nabla^2 \vec F} = \left\langle
\frac{\partial^2 \vec F_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \vec F_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \vec F_x}{\partial z^2}
,
\frac{\partial^2 \vec F_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \vec F_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \vec F_y}{\partial z^2}
,
\frac{\partial^2 \vec F_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \vec F_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \vec F_z}{\partial z^2}
\right\rangle</math>
A soma entre o laplaciano vectorial e o rotor do rotor dum campo escalar é igual ao gradiente da divergência do mesmo.
=={{Ver também}}==
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