Teorema fundamental da álgebra: diferenças entre revisões

 

Então os coeficientes de <math>q_t(z)</math> são polinómios simétricos nos <math>z_i</math> com coeficientes reais. Logo, podem ser expressos como polinómios com coeficientes reais nos polinómios simétricos elementares, ou seja, em <math>-a_1</math>,&nbsp;<math>a_2</math>,&nbsp;…,&nbsp;<math>(-1)^na_n</math>, pelo que <math>q_t</math> tem, de facto, coeficientes ''reais''. Além disso, o grau de <math>q_t</math> é igual a <math>n(n-1)/2=2^{k-1}m(n-1)</math>, e <math>m(n-1)</math> é ímpar. Logo, pela hipótese de indução, <math>q_t</math> tem alguma raiz real; por outras palavras, <math>z_i+z_j+tz_iz_j</math> é real para dois elementos distintos <math>i</math> e <math>j</math> de {<math>1</math>,&nbsp;…,&nbsp;<math>n</math>}. Como há mais números reais do que pares <math>(i,j)</math>, é possível encontrar números reais distintos <math>t</math> e <math>s</math> tais que <math>z_i+z_j+tz_iz_j</math> e <math>z_i+z_j+sz_iz_j</math> sejam reais (para os mesmos <math>i</math> e <math>j</math>). Consequentemente, tanto <math>z_i+z_j</math> como <math>z_iz_j</math> são números reais e, portanto, <math>z_i</math> e <math>z_j</math> são números complexos, pois são raízes do polinómio <math>z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2</math>.

 

== Corolários ==